Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

1.4-§. Ehtimolliklar nazariyasi aksiomalari
Natijalarini oldindan aytib berish mumkin bolm agan tajriba-lami matematik modellarini ko‘rish uchun birinchi navbatda ele-mentar hodisalar fazosi tushunchasi kerak bo‘ladi (elernentar hodi­ sa tushunchasi boshlang'ich (asosiy) tushuncha sifatida qabul qilinib unga ta’rif berilmaydi). Bu fazo sifatida ixtiyoriy Q to ‘plam qabul qilinib, uning elementlari co lar (coe Q) elernentar hodisalar deb e'lon qilinadi va bizni qiziqtiradigan har qanday natijalar shu elernentar hodisalar bilan ifodalanadi.
Odatda eng sodda tajribalarda biz chekli sondagi elernentar hodisalar bilan ish ko‘ramiz. Masalan, tanga tashlash tajribasi

0. 
   = {w1,co2} = {G,R} uchun ikkita elernentar hodisa — tanganing G (gerb) tomoni yoki R (raqam) tomoni bilan tushish hodisala-ridan iborat ekanligi bizga ma’lum. Kub tashlash tajribasida esa Q 6 ta elernentar hodisadan iborat. Lekin tanga va kub tashlash
   

22

shunday tajribalar bilan bog'liqki. uiar uchun chekli sondagi ele­ mentar hodisalar bilan chegaralanib bo‘lmaydi. Masalan, 1,2-§ dagi misolni olsak, ya’ni tangani birinchi marta R (raqam) tomoni bilan tushishiga qadar tashlash tajribasini ko‘rsak, bu tajribaning elementar hodisalari R, G R , GCj.fl ketma-ketliklarko‘rinishida boiib, ularning soni cheksiz va ular bir-biridan farq qiladi. Tabiiyki, bu tajribani chekli sondagi elementar hodisalar (natijalar) fazosi bilan ifoda etib boimaydi.
Umuman Q to‘plam chekli yoki sanoqli (diskret) boigan hol­ da uning ixtiyoriy qismi (to‘plarn ostisi) tasodifiy hodisa sifatida qabul qilinadi. Masalan, Q to'plam n ta elementar hodisalar io,, co2, c o „ lardan iborat bo‘lsa, bu fazo (to‘plam) bilan bogiiq
{^2)5 ’*•’ ••*? ®29***5 2" ta tasodifiy hodisalar sistemasi yuzaga keladi.

Yuqorida, 1.2-§ da elementar hodisalar to‘plami Q diskret boigan holda hodisa sifatida to'plamning ixtiyoriy qismini olish mumkinligini eslatib o'tgan edik, demak 3 hodisalar siste­ masi

£ = {A : A cQ } .
3 sistemada esa ehtimollik P( ) konstruktiv ravishda

0. 
   ( A ) = y£ P( e > ) ae A
   

tenglik bilan aniqlangan edi.

Lekin mumkin boigan natijalari (elementar hodisalari) sanoq­ li boimagan tajribalarni oson tassavur qilish mumkin. Masalan, [?j,r2] oraliqda tasodifiy nuqtani tanlash tajribasini (ixtiyoriy kishi-ning temperaturasini oichashni) ko‘rsak, bu tajribaning natijalari kontinuum to‘plamni tashkil qiladi, chunki [/,,f2] oraliqni ixti­ yoriy nuqtasi elementar hodisa sifatida qabul qilinishi mumkin (Q=[/,,/2]). BU holda Q ning ixtiyoriy qismini (to‘plam ostisini) tasodifiy hodisa deb tushunsak, qo‘shimcha chalkashliklar yuza­ ga keladi va shu sababli, hodisalar sifatida O. ning maxsus to‘plarn ostilari sinfini ajratib olish bilan bogiiq ehtiyoj yuzaga keladi. Umuman aytganda, Q ixtiyoriy to'plam boiganda, u bilan bogiiq

23

hodisalar sistemasini tuzish, Q diskret bo‘lganda uning har qan­ day qismini hodisa deb tushunish imkoniyatini saqlab qolish maq-sadga muvofiq bo‘ladi.

Aytaylik, elernentar hodisalar fazosi £2 ixtiyoriy to ‘plam bo‘lib, 3 esa Q ning qism to‘plamlaridan tashkil topgan sistema boMsin.
1-ta’r if Agar quyidagi shartlar bajarilsa, 5 sistema algebrani tashkil qiladi deymiz:

A i : f2 e		5 bo'lsa, A vj !U\	/I n B e S' boMadi;
A2 : agar /le	5,
A3 : Agar A e	5 bo‘lsa, A = £2 \ A e £		boMadi.

Ravshanki, A2 da keltirilgan ikkita munosabatdan bittasini ta­ lab qilinishi yetarli boMadi, chunki ikkinchisi A3 ni hisobga olgan holda doim bajariladi.

0. 
   algebrani ba’zi hollarda halqa deb ham qabul qilinadi, chun­ ki S da qo‘shish va ko‘paytirish amallari mavjudki (to‘plamlar nazariyasi ma’nosida), ularga nisbatan 5 yopiq sistema boMadi. 5 algebra birlik elementga ega bo‘lgan halqadir, chunki Q e ? ekanligidan har qanday A e $ uchun AQ — QA —A tenglik o‘rin-lidir.
   

0. 
   -ta’rif. To‘plamlar sistemasi $ a-algebrani tashkil qiladi dey­ miz, agar quyidagi xossa ixtiyoriy to ‘plamlar ketma-ketligi uchun bajarilsa:
   

A'2 : agar har qanday n uchun Ane $ boMsa, u holda
00 CO
[ J An e g , P | An e 5,
n=l n=1
boMadi.
Qayd qilib o‘tamizki, A2 xossadagi kabi A\ da ham keltirilgan
2 ta munosabatdan bittasining bajarilishi yetarli, chunki (ikkilik prinsipi)

PK =U^

n n
tenglik o ‘rinli. g — a-algebra, a-halqa yoki hodisalaming Borel maydoni deb ham yuritiladi.

24

Keltirilganlardan kelib chiqadiki, algebra chekli sonda bajarila digan to'plamlarni qo‘shish, ko‘paytirish, toidiruvchi to‘plamlarga o lish amallariga nisbatan yopiq boigan to‘plamlar sistemasi bolar ekan. a-algebra esa bu amallami sanoqli sonda bajarilishiga nis-batan yopiq sistemadir.

Har qanday algebra a-algebra bo‘lavermaydi. Masalan, |0 ,11 kesmadagi chekli intervallardan tashkil topgan to ‘plamlar sistc-masi algebra bo‘ladi, lekin a-algebra bolmaydi.
Agar Q to ‘plam va uning to ‘plam ostilaridan tuzilgan algebra yoki a-algebra 3 berilgan bo‘lsa, (fi,#) o ‘lchovli fazo deyiladi. 0 ‘lchovli fazo tushunchasi to ‘plamlar nazariyasi, olchovlar naza­ riyasi va ehtimolliklar nazariyasida juda muhimdir. Quyidagi teo-remaga asoslanib, o ‘lchovli (Q,^) fazolami o‘rganishda J sistema a-algebra tashkil qilgan holm ko‘rish bilan chegaralanib qolish yetarli ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Q to ‘plamning ixtiyoriy qismini ro-to‘plam deb ataymiz.