Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

Teorema. 30 ixtiyoriy co-to‘plamlar sistemasi bo‘lsin. U holda co-to'plamlarning shunday a-algebrasi J mavjudki, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
I- <—3-

0. 
   Agar co-to‘plamlaming a-algebrasi bolib, Sq <= 5i bois u holda J c: Jj.
   

I va II xossalardan kelib chiqadiki, har qanday ai-to‘plamlarning sistemasi uchun uni qoplovchi (o‘z ichiga oluvchi) minimal a-algebra J mavjud bo‘lar ekan. Kelgusida bu a-algebrani Jo
sistema hosil qilgan a-algebra deymiz va J a (J 0) deb belgi-laymiz. a-algebraning ta’rifidan kelib chiqadiki, a (J 0) ning ixtiyoriy co-to‘plami (hodisasi) A, shu J () sistemasining elementlaridan sa­ noqli sondagi U, fl va to‘ldiruvchi to'plamlarga o‘tish amallari orqali hosil boigan to'plamdan iborat boiadi.
Teoremaning isboti sodda va konstruktiv xarakterga ega. Ha-qiqatan ham, a-algebraning ta’rifidan ixtiyoriy sondagi a-algeb-ralaming ko‘paytmasi yana a-algebra bolishi kelib chiqadi. 0 ‘z-o‘zidan tushunarliki, Q to‘plamning hamma to ‘plamostilaridan tuzilgan sistema a-algebra tashkil qiladi va u $max — maksimal a-algebra deyiladi. Demak hech boimaganda bitta a-algebra (J max)

25

borki, a>-to‘plamlaming ixtiyoriy sistemasi So > Smax bo‘ladi. Oxir-gidan ko'rinadiki, S bo‘sh to‘plam emas va u beriigan So sistema-ni o‘z ichiga oluvchi hamma o-algebralarning ko‘paytmasidan iborat bo‘ladi (o‘quvchiga mashq sifatida, agar Q to‘plam sanoqli boMsa, (Q,Smax) asosiy o‘lchovli fazo boMishini tekshirishni taklif eta-miz). Keltirilgan mulohazalardan cr(So) = S ning II banddagi xos-sasi kelib chiqadi.

Aytaylik, Q = M — haqiqiy sonlar to‘plami va So ~ barcha intervallar sistemasi boisin. U holda Borel 23 = a(So) a-algebrasi deyiladi va 3S intervallarni o'z ichiga oluvchi hamma a-algebralar-ning ko‘paytmasi boMadi (S hamma intervallarni o‘z ichiga oluv­ chi minimal a-algebra). Borel a-algebrasi S ni intervallar ustida sanoqli sondagi qo‘shish, ko'paytirish va toMdiruvchi to‘plamlarga oMish amallari orqali hosil boMgan to'plamlar sistemasi deb qa-rash mumkin va bunday to‘plamlar Borel to‘plamlari deyiladi. Masalan, (a,b) intervallar bilan bir vaqtda bir nuqtali to’plamlar {a} va va (a,b\, [a,b], [a,b) (a va b lar chekli yoki cheksiz qiy-matlarni qabul qilishi mumkin) ko‘rinishidagi to‘plamlar Borel to‘plamlari boMadi, chunki ular uchun

n=1
munosabatlar o‘rinli.

0. 
   (a,b] = f ) ( a , b + i ) n=1
   

Ochiq va yopiq to‘plamlarning strukturasidan foydalanib ayti-shimiz mumkinki, agar So R dagi yoki ochiq, yoki yopiq to'plamlar sistemasi boMsa, CT(SO) = 53 (Borel a-algebrasi) boMadi va (R,93) oMchovli fazo boMadi. Aytib oMilganlardan ko‘rinadiki, Borel a-al­ gebrasi 03 to‘g‘ri chiziqda juda ham boy to‘plamlar sistemasini tashkil qiladi (Borel to‘plami boMmaydigan to‘plamlarga misol keltirish qiyin).

Agar /?-oMchovli Evklid fazosi R" ni ko‘rsak, undagi Borel to‘p-lamlari sistemasi 53” fl-oMchovli to'g'ri to'rtburchaklar (interval­ lar), sferalar sistemasi hosil qilgan a-algebradan iboral boMadi.
Umuman, ehtimolliklar bilan bogMiq biror masalani yechishda unga mos kelgan tajriba uchun (Q,S) oMchovli fazoni qabul qilish kerak. Bunda Q ko‘rilayotgan tajribaning elernentar hodisalar (nati-

26

jalar) to ‘plami, J shu tajriba bilan bog‘liq hodisalar a-algebrasi.

0. 
   ga kirmaydigan £2 ning barcha to‘plamostilari hodisalar hisoblan-maydilar. Ko‘pincha J sifatida konkret m a’noga ega boigan to‘p-lamlar sistemasi hosil qilgan a-algebra qabul qilinadi.
   

Umuman, agar

0. 
   =A, UA2U...UA„U...
   

va har xil i va j lar uchun At fI Aj = 0 boisa, u holda Ah A2, ..., An to'plamlar sistemasi Q to ‘plamning bo ‘linishi deyiladi.

Ko‘p hollarda
J = o(Ay, Aj, An)
deb olish maqsadga muvofiq boiadi. Bu yerda qanday boiaklash sistemasini qabul qilish qo‘yilgan masalaning ma’nosiga bogiiq.

Endi (Q ,J) oichovli fazoda ehtimollik tushunchasi qanday kiritilganini eslatib o‘tamiz.

3 -ta’r if (Q,J) oichovli fazodagi ehtimollik Pi), a-algebra­ ning to ‘plamlarida aniqlangan sonli funksiya boiib, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
Px: Har qanday A e J uchun P(A) > 0.
P2: P(Q) = 1.
Py Agar J ga tegishli hodisalar ketma-ketligi {A„,n > 1} uchun At -Aj = Ai fl Aj = 0 (/ ± j ) boisa,
( j A n ) = ± P ( A n).
V«=i ) «=i
P} xossa ehtimollikning a-additivlik xossasi deyiladi.
(Q,$,P) uchlik ehtimollik fazosi deyiladi.
Ehtimollik P oichovli (Q,J) fazodagi taqsimot yoki yanada soddaroq ravishda, Q dagi taqsimot deb ham yuritiladi.
Shunday qilib, ehtimollik fazosi berilgan deganda, oichovli fazoda sanoqli additiv, manfiy boim agan qiymatlarni qabul qi­ luvchi va hamma elementar hodisalar to‘plamida I ga teng boigan oichovni berish tushuniladi.

0. 
   a-algebrani va unda P ehtimollikni aniqlaydigan Av A\ , A3, Px, P2, P3 aksiomalar birgalikda hozirgi zamon ehtimolliklar naza-
   

27

riyasining asosini tashkil etadi va ular XX asrning mashhur matema-tigi A.N.Kolmogorov tomonidan kiritilgan.

Mantiqiy nuqtayi nazardan, keltirilgan aksiomalar to‘la bo‘1-magan, qarama-qarshiliksiz aksiomalar sistemasini tashkil qiladi. (£2,5 ,^) ehtimollik fazosini ko‘rish tasodifiy tajribalarning matema­ tik modelini tuzishda asosiy rol o‘ynaydi.

Umuman, «Ehtimollik o‘zi nima?» deb ataladigan munozara ancha katta tarixga ega. Bu tushuncha o‘rganilayotgan hodisa­ ning bevosita zarurligi va tasodifiyligi bilan bog‘liq, faqatgina mate-matika nuqtayi nazaridan emas, balki falsafaviy xarakterdagi qiyin-chiliklarga ham olib keladi. Bu munozaraning yuzaga kelishi va rivoj-lanishi mashhur matematiklar E.Borel, R.Fon Mizes, S.N.Bernshteyn, A.N.Kolmogorovlar nomi bilan bog'liq. Ehtimollik fazosi (H,#,/3) ni aniqlovchi Kolmogorov aksiomalari «ehtimollikning» matematik ma’nosini «sabab va zaruriyat» kabi falsafiy tushunchalardan ajratib turadi.