“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

Гистограмма частот


y



7

6

5


4

3





2



1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 x

Задания для закрепления:

1. 
   Записать выборку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4 в виде: а) вариационного ряда; б) статистического ряда распределения частот; в) статистического ряда распределения относительных частот.
   

Ответ: а) 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10;
б) 2 3 4 5 7 10 в) 2 3 4 5 7 10;
3 1 2 3 4 2 1/5 1/15 2/15 1/5 4/15 2/15.

2. 
   Построить полигон частот выборки, представленной в виде статистического ряда:
   

х_i 1 4 5 7
n_i 20 10 14 6

3. 
   Построить полигон частот выборки, представленной в виде статистического ряда:
   

х_i 1 3 6 8 9

n_i 10 15 30 33 12

4. 
   Построить полигон распределения по объему вкладов частных лиц за один месяц по данным следующей таблицы:
   

объем вклада (в тыс. сумов)	100	250	500	600	750	800	900	1000
количество вкладчиков	1	1	5	8	17	21	18	8

5. 
   Построить гистограмму выборки, представленной в виде таблицы частот. Объем выборки n=55.
   

Номер интервала	границы интервала	число элементов выборки, попавших в интервал
i
1 2 3 4 5 6 7	10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24	2 4 8 12 16 10 3

7. Построить гистограмму выборки, представленной в виде таблицы частот. Объем выборки n=100.

Номер интервала	границы интервала	число элементов выборки, попавших в интервал
i
1 2 3	0-2 2-4 4-6	20 30 50

8. 
   Построить гистограмму распределения коров по проценту жирности молока по данным следующей таблицы:
   

жирность молока, %	число коров
3,45 - 3,55 3,55 - 3,65 3,65 - 3,75 3,75 - 3,85 3,85 - 3,95 3,95 - 4,05 4,05 - 4,15 4,15 - 4,25 4,25 - 4,35	1 1 3 4 7 5 2 1 1

9. 
   Следующие данные - показатели работы цементной промышленности в 1996.:
   

предприятия с годовой мощностью, тыс. тонн.	Количество предприятий
до 500 500-1000 1000-2000 2000-3000 свыше 3000	27 11 8 8 2

Построить гистограмму частот.

10. По данным приведенной ниже таблицы постройте полигоны частот распределения:

• 
  оплаты труда;
  
• 
  социальных трансфертов;
  
• 
  доходов от собственности и предпринимательской деятельности;
  
• 
  расходов на покупку товаров и услуг;
  
• 
  расходов на оплату обязательных платежей и взносов;
  
• 
  накопления сбережений во вкладах и ценных бумагах.
  

Структура денежных доходов и удельный вес расходов в денежных
доходах населения (в процентах к денежным доходам) по годам

Денежные доходы	1980	1990	1991	1992	1993	1994	1995
Всего в том числе: оплата труда социальные трансферты доходов от собственности и предпринимательской деятельности и др.	100 77,4 15,7 6,9	100 74,1 13,0 12,9	100 59,7 15,5 24,8	100 69,9 14,0 16,1	100 58,0 17,2 24,8	100 46,4 17,4 36,2	100 39,3 16,7 44,0
Денежные расходы	1980	1990	1991	1992	1993	1994	1995
Всего в том числе: покупка товаров и услуг оплата обязательных платежей и взносов накопление сбережений во вкладах и ценных бумагах покупка валюты	99,1 84,3 12,1 2,7 -	95,0 75,3 12,2 7,5 -	90,2 62,3 8,3 19,6 -	86,4 72,9 8,2 4,8 0,5	90,7 68,9 7,6 6,2 8,0	95,5 64,5 6,8 6,5 17,7	96,5 70,5 6,7 5,0 14,3

12-Занятие. Эмпирические функции распределение. Эмпирические показатели и вычисление их
Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту


,

где - число вариант, меньших х; n - объем выборки. В отличии от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Эмпирическая функция распределения служит для оценки теоретической функции распределения.

Свойства эмпирической функции распределения:

1. 
   Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1].
   
2. 
   - неубывающая функция.
   
3. 
   Если х₁ - наименьшая варианта, то при ; если х_k - наибольшая варианта, то при .
   

Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы.


Пример 2. Построить эмпирическую функцию для выборки, заданной следующим статистическим рядом .


Решение: Найдем объем выборки : n = 12+18+30 = 60. Наименьшая варианта равна x₁ = 2, следовательно, при .
Значение х<6, а именно x₁ = 2 наблюдалось 12 раз, следовательно при . Значение х<10, а именно x₁ = 2 и х₂ = 6 наблюдалось 12+18 раз, следовательно, при . Так как x₃ = 10 наибольшая варианта, то при .
И так, искомая эмпирическая функция

F^*(x)



1

0.5

0.2

2

6

10

5. 
   Найти эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной статистическим рядом:
   

а) х_i 1 4 6 б) х_i 2 5 7 8

; ;
n_i 10 15 25 n_i 1 3 2 4

в) х_i 4 7 8

.
n_i 5 2 3
Ответ: а) б)

в)

13-Занятие. Статистические оценки. Точечные оценки и их свойства
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной
совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Естественно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные наблюдений, т.е. - выборка.
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин (т.е. выборки). Несмещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности. Состоятельной называют статическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Точечные оценки
Пусть наблюдавшиеся значения признака (т.е. выборка), которая имеет следующее статистическое распределение: ,
где - частота варианты и - объем выборки.
Несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности служит выборочная средняя:
.
Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:
.
Эта оценка является смещенной, так как , где D_Г - дисперсия генеральной совокупности.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит «исправленная дисперсия»:
,
Эта оценка является несмещенной, так как .
При вычислении выборочной дисперсии удобно пользоваться формулой: .