“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

Пример 5. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения:

Хn	-nа	0	na
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева ?

Решение: Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно , чтобы эти величины были попарно независимы и имели равномерно ограниченные дисперсии.
Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.
Проверим выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий. Сначала найдем математические ожидания величин Х_n :

Дисперсии случайных величин X_n равны:

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены числом а², т.е. второе требование выполняется. Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности применима теорема Чебышева.
Ответ:Применима.
Пример 6. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения:

Хn	-nа	0	na
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева ?

Решение: Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.
Легко найти, что МХ_n=0. Проверим выполнимость требования - равномерной ограниченности дисперсий.

Предположим временно, что n изменяется непрерывно , и исследуем функцию на экстремум. Приравняв первую производную этой функции нулю, найдем критические точки . Отбросим первую точку, как не представляющую интереса (n не принимает значения, равного нулю) ; легко видеть, что в точке функция имеет максимум. Учитывая, что и что n - целое положительное число, вычислим дисперсию для ближайших к числу 2,9 (слева и справа) целых чисел, т.е. для n=2 и n=3: и . Очевидно, . Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна , т.е. дисперсии случайных величин равномерно ограничены числом .
Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности применима теорема Чебышева.
Ответ: применима.