“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

Решение типовых примеров:
Пример 1. Сумма всех вкладов в некоторой сберегательной кассе составляет 20000000 сумов, а вероятность того, что случайно взятый вклад меньше 100000 сумов, равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данной сберегательной кассы?
Решение: Пусть Х - величина случайно взятого вклада, а n - число всех вкладчиков, тогда из условия задачи следует, что
,
по неравенству Маркова .

Отсюда ,

Ответ: .
Пример 2.(Правило «трех сигм») Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания менее чем на три средних квадратических отклонения.
Решение: По условию задачи . Подставляя это значение в неравенство Чебышева, мы имеем:
Ответ:
Пример 3. С какой вероятностью можно утверждать, что отклонение средней арифметической 1500 независимых случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,6, если известно, что дисперсия каждой из величин не превышает З?
Решение. Средняя арифметическая n случайных величин также есть случайная величина. Средним значением ее будет величина. . На основании неравенства Чебышева

имеем:



Пример 4. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.
Решение: а) X - число отказавших элементов за время Т есть дискретная случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами n=10 и р=0,05. Поэтому ; . Воспользуемся неравенством Чебышева . Подставив значения МХ=0,5; DX=0,475 и , получим: .
б) Так как события и противоположны, то сумма вероятностей равна единице. Следовательно, .
Ответ: а) ; б) .