Ehtimollar nazariyasining predmeti va uning iqtisodiy, texnik

x ₁ ,


x ₂ , ... , x _N

qiymatlari

ga teng bo‗ladi.
x _Б 
( x₁ 
x ₂   
x _N ) N
(12.3)

Belgining
x ₁ ,
x ₂ , ... , x _k
qiymatlari mos ravishda
N ₁ ,
N ₂ , ... , N _k

chastotalarga ega va bunda o‗rtacha qiymat
N ₁ 
N ₂   
N _k  N
bo‗lgan taqdirda esa bosh

ga teng bo‗ladi.
x _Б 
( x₁ N ₁ 
x ₂ N ₂
  
x _k N _k ) N
(12.4)

Agar bosh to‗plamning tekshirilayotgan X belgisi tasodifiy miqdor deb qaralsa hamda (12.3) va (12.4) formulalar (6.1) va (6.2) formulalar bilan solishtirilsa, u holda belgining mate-matik kutilmasi shu belgining bosh o‗rtacha qiymatiga teng degan xulosaga kelish mumkin:

x _Б 
M ( X
) . (12.5)

Endi bosh to‗plamni X miqdoriy belgiga nisbatan o‗rganish uchun n hajmli
tanlanma olingan bo‗lsin.
x _Т o‘rtacha tanlanma qiymat deb tanlanma to‗plam belgisi-ning
kuzatilayotgan qiymatlarining o‗rta arifmetik qiymatiga aytiladi.

Agar n hajmli tanlanma belgisining barcha turlicha bo‗lsa, u holda o‗rtacha tanlanma qiymat
x ₁ ,
x ₂ , ... , x _n
qiymatlari

ga teng bo‗ladi.
x _Т 
( x₁ 
x ₂   
x _n ) n
(12.6)

Belgining
x ₁ ,
x ₂ , ... , x _k
qiymatlari mos ravishda
n ₁ ,
n ₂ , ... , n _k

chastotalarga ega va bunda tanlanma qiymat
n₁  n ₂
  
n _k  n
bo‗lgan taqdir-da esa o‗rtacha

ga yoki

x _Т 
( x₁ n ₁  x ₂ n <sub>2


</sub> k
  



x _k n _k ) n
(12.7)

x _Т  _{ } x _i n _{i } n
(12.8)

 i  1 
teng bo‗ladi.

O‗rtacha tanlanma qiymat bosh o‗rtacha qiymatning siljima-gan bahosi ekan

degan fikrga ishonch hosil qilaylik, ya‘ni x _Т
ning matematik kutilmasi x _Б
ga teng

ekanligini ko‗rsatamiz. x _Т
ni tasodifiy miqdor va
x ₁ ,
x ₂ , ... , x _n
larni

bog‗liqmas, bir xil taq-simlangan tasodifiy miqdorlar sifatida qaraymiz. Bu tasodi- fiy miqdorlar bir xil taqsimlangan bo‗lgani uchun ular bir xil sonli tavsiflarga, xususan, bosh to‗plam X belgisining matema-tik kutilmasiga teng bo‗lgan bir xil matematik kutilmaga ega.
Shunga asosan, 6.2-xossadan, 6.2-natijadan hamda (12.5) va (12.6) formulalardan foydalanib,

ni olamiz.

M ( x _Т )  x _Б
(12.9)

9.1-natijadan foydalanib, o‗rtacha tanlanma qiymat bosh o‗r-tacha qiymatning asosli bahosi ham ekanligini osongina ko‗rsa-tish mumkin.

Bosh va tanlanma to‗plamlar miqdoriy belgilari qiymatla-rining o‗zlarining o‗rtacha qiymatlari atrofidagi tarqoqligini tavsiflash uchun jamlanma tavsiflar — mos ravishda bosh va tanlanma dispersiyalar hamda o‗rtacha kvadratik chetlanishlar ki-ritiladi.

D _Б bosh dispersiya deb bosh to‗plam belgisi qiymatlarining ularning

o‗rtacha qiymati x _Б
aytiladi.
dan chetlanishlari kvadratlarining o‗rta arifmetik qiymatiga

Agar N hajmli bosh to‗plam belgisining barcha turlicha bo‗lsa, u holda bosh dispersiya
x ₁ ,
x ₂ , ... , x _N
qiymatlari

N
 _{ 2} 

D _Б  _{ } x _i  x _{Б } N
(12.10)

 i  1 
ga teng bo‗ladi.

Belgining
x ₁ ,
x ₂ , ... , x _k
qiymatlari mos ravishda
N ₁ ,
N ₂ , ... , N _k

chastotalarga ega va bunda dispersiya
N ₁ 
N ₂   
N _k  N
bo‗lgan taqdirda esa bosh

k
 _{ 2} 

D _Б  _{ } x _i  x _Б N _{i } N
(12.11)

 i  1 
ga teng bo‗ladi.
Bosh o‘rtacha kvadratik chetlanish deb bosh dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:


_Б  . (12.12)


1-misol. Bosh to‗plam

1. 
   – j a d v a l
   

x i	2	4	5	6
N i	8	9	10	3

taqsimot jadvali bilan berilgan. Bosh dispersiya va bosh o‗rtacha kvadratik chetlanish topilsin.

Yechish. Bosh o‗rtacha qiymatni topamiz:

x _Б 
2  8 
4  9
 5  10
 6  3
120

 4 .

Bosh dispersiyani topamiz:

8  9
 10  3 30

D _Б 
( 2 
4 ) ²
 8 
( 4 
4 ) ²
 9 
30
( 5 
4 ) ²
 10
 ( 6 
4 ) ²  3 54

30

 1,8 .

Bosh o‗rtacha kvadratik chetlanishni topamiz:


_Б  
 1,34 .

D _Т tanlanma dispersiya deb tanlanma to‗plam belgisining kuzatiladigan

qiymatlarining ularning o‗rtacha qiymati x _Т
o‗rta arifmetik qiymatiga ayti-ladi.
dan chetlanishlari kvadratlarining

Agar n hajmli tanlanma belgisining barcha turlicha bo‗lsa, u holda tanlanma dispersiya
x ₁ ,
x ₂ , ... , x _n
qiymatlari

n
 _{ 2} 

D _Т  _{ } x _i  x _{Т } n
(12.13)

 i  1 
ga teng bo‗ladi.

Belgining
x ₁ ,
x ₂ , ... , x _k
qiymatlari mos ravishda
n ₁ ,
n ₂ , ... , n _k

chastotalarga ega va bunda tanlanma dispersiya
n₁  n ₂
  
n _k  n
bo‗lgan taqdir-da esa

k
 _{ 2} 

D _Т  _{ } x _i  x _Т n _{i } n
(12.14)

 i  1 
teng bo‗ladi.
Tanlanma o‘rtacha kvadratik chetlanish deb tanlanma dis-persiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:


_Т  . (12.15)


2-misol. Tanlanma to‗plam

2. 
   – j a d v a l
   

x i	1	2	3	4
N i	20	15	10	5

taqsimot jadvali bilan berilgan. Tanlanma dispersiya va tan-lanma o‗rtacha kvadratik chetlanish topilsin.
Yechish. O‗rtacha tanlanma qiymatni topamiz:

x _Т 
1  20
 2  15
 3  10
 4  5
100

 2 .

20
Tanlanma dispersiyani topamiz:
 15
 10  5 50

D _Т 
(1 
2 ) ²
 20
 ( 2 
2 ) ²
 15 
50
( 3 
2 ) ²
 10
 ( 4 
2 ) ²  5 50

50

 1 .

Tanlanma o‗rtacha kvadratik chetlanishni topamiz:


_Т  
 1 .

Dispersiyalarni
 ^N 

D _Б  _{ } x _

i

Б
2
N   x
^2 , (12.16)

 i  1 
 ^k 

D _Б  _{ } x N _

i

i

Б
2
N   x
^2 , (12.17)

 i  1 
 ⁿ 

D _Т  _{ } x _

i

Т
2
n   x 2
(12.18)

 i  1 
va
 ^k 

D _Т  _{ } x n _

i

i

Т
2
n   x 2
(12.19)

 i  1 

formulalardan foydalanib hisoblash qulayroq bo‗ladi.
Endi tanlanmadagi ma‘lumotlar bo‗yicha noma‘lum D _Б

bosh dispersiyani

baholash talab etilgan bo‗lsin. D _Т
bo‗ladi, chunki
tanlanma dis-persiya D _Б
ning siljigan bahosi

Т
M ^ D ^ 
n  1
n
^D _Б . (12.20)

Bosh dispersiyaning bahosi sifatida D _Т
ni n
( n  1)
kasrga ko‗paytirish

natijasida hosil qilingan s ²
tuzatilgan disper-siya olingan taqdirda esa u bosh

dispersiyaning siljimagan ba-hosi bo‗ladi. Haqiqatan, (12.20) ni hisobga olgan holda

k
 _{ 2} 


_{ } x _i  x _Т n _{i  k}

Т

i

Т

_i 
s ²  ⁿ D  ⁿ
 i  1
 _{  }
 x 
x 2 n ^
n  1)

n  1
n  1 n
 i  1 

(12.21)
va

M s ²  
 ⁿ 

M


 ^D _Т 
_ n  1 _
n
M
n  1
 D  
n

n  1
n  1
D _Б
n
 D _Б

(12.22)

Т
larni hosil qilamiz.