Egri chiziqli integrallar va ularning tatbiqlari

MISOLLAR
1-misol. , ikkinchi tur egri chiziqli integralni quyidagi shartlar bo‘yicha hisoblang.
1) - va nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi.
2) - va nuqtalarni tutashtiruvchi parabola.
3) - va nuqtalarni tutashtiruvchi parabola.
4) - va nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq (8-rasm).
Yechish. Bu holda to‘g‘ri chiziq va B nuqtalardan o‘tadi. Shuning uchun

2)

3)

4)


8-rasm
Yuqorida ko‘rsatilgan to‘rt holda egri chiziqli integral bir xil qiymatni berdi.


ya’ni shartni qanoatlantiradi. Demak, bu shartlar bajarilganda, berilgan egri chiziqli integral integrallash yoliga bo‘g‘liq emas ekanligini ko‘rsatadi.
2-misol. , ikkinchi tur egri chiziqli integralni quyidagi shartlar bo‘yicha hisoblang.
1) - va nuqtalarni tutashturuvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi.
2) - berilgan nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq.
Yechish. 1)

2)

Yuqoridan ko‘rinadiki natijani shart bo‘yicha tekshiramiz



Demak, berilgan ikkinchi tur egri chiziqli integral integrallash yoliga bog‘liq ekan.
3-misol. Quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integralni yopiq kontur bo‘yicha hisoblang
,
bunda - ellips.
Yechish. Bu integralni hisoblash uchun ellipsning parametrik tenglamasidan foydalanamiz, u holda


(17) shartda bajarilib, integral ostidagi ifoda funksiyaning to‘liq differsiali:
.
Shuning uchun (19) formulaga asosan
.
Bunda - ellipsda yotuvchi ixtiyoriy nuqta.