Egri chiziqli integrallar va ularning tatbiqlari

4-§. Egri chiziqli integrallarning geometrik masalalarga tatbig‘i
Tekislikda yoki fazoda yoyning uzunligi quyidagi formula yordamida hisoblanadi
(26)
Xususiy holda, agar fazoda chiziq parametrik ko‘rinishidagi tenglamalari bilan berilgan bo‘lsa
,
u holda (26) formula quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi
(27)
tekisligida joylashgan, yopiq chiziq bilan chegaralangan figuraning yuzi, quyidagi formula yordamida hisoblanadi
(28)
MISOLLAR
1-misol. Vint chizig‘i yoyi uzunligini toping
.
Yechish. Berilgan tenglamalarni differsiallab, formulaga qo‘yamiz



2-misol. astroida bilan chegaralangan fiuraning yuzini hisoblang.
Yechish. Berilgan tenglamalardan va larni topamiz.

formula yordamida quyidagilarga ega bo‘lamiz






3-misol. Dekart yaprog‘i sirtmog‘i bilan chegaralanga figuraning yuzini toping (10-rasm).
Yechish. almashtirish yordamida, Dekart yaprog‘i chizig‘ining tenglamasini parametrik ko‘rinishga keltiramiz

.
Bulardan




10-rasm
9-rasmdan ko‘rinib turibdiki, sirtmoq egri chizig‘i parametr dan gacha o‘zgarganda chiziladi (ya’ni yoki bunda).
(28) formula yordamida hisoblaymiz



Mustaqil yechish uchun misollar
Quyi egri chiziq yoylarining uzunliklarini hisoblang.
1. . (jav. ).
2. . (jav. ).

Egri chiziqli integral yordamida yopiq chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzlarini hisoblang.

3. ellips. (jav. ).
4. egri chiziq sirtmog‘i. (jav. ).
5. egri chiziq sirtmog‘i. (jav. ).
(bunda almashtirish olinadi).