Доцент т х. Адировнинг маърузаси

1-таъриф. Агар ўтказилаётган тажрибалар кетма-кетлигида ҳар бир тажрибанинг натижаси (иккинчи тажрибадан бошлаб) олдинги тажрибалар натижасига боғлиқ бўлмаса, у ҳолда бу тажрибалар кетма-кетлиги эркли синовлар кетма-кетлиги деб аталади.
Агар та тажрибада ҳодисанинг роса марта рўй беришини ҳодиса деб қарасак,

бўлиб, у та ҳаддан иборат бўлади. Тажрибалар кетма-кетлиги эркли бўлганлиги сабабли кўпайтириш теоремасига кўра (1) ифодадаги ҳар бир ҳаднинг эҳтимоллиги билан аниқланади, у ҳолда (1) ифодада йиғиндидаги ҳар бир ҳад биргаликмаслигини эътиборга олсак:
.
Агар бошланғич белгилашларга қайтсак,

Бернулли (биномиал) формуласи (схемаси) ни ҳосил қиламиз.
(Муавр-Лапласнинг локал теоремаси) Агар ҳар бир тажрибада ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли ( ) ўзгармас бўлса, у ҳолда та эркли тажрибада ҳодисанинг марта рўй бериш эҳтимоли учун, нинг шартни қаноатлантирувчи барча қийматларида, текис равишда,
(1)
тенглик бажарилади, бу ерда , .
Бу теоремани Муавр 1730 йилда учун, сўнгра Лаплас 1783 йилда учун исботлаган.
(Муавр- Лапласнинг интеграл теоремаси) Агар ҳар бир тажрибада ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли ўзгармас бўлса, у ҳолда та эркли тажрибада ҳодисанинг камида марта ва кўпи билан марта рўй бериш эҳтимоли учун да
(3)
муносабат ва га нисбатан текис бажарилади, буерда
, , .
Лаплас функцияси деб аталувчи интегралнинг қийматлари учун махсус жадвал тузилган. Жадвалда интегралнинг кесмага мос бўлган қийматлари берилган, чунки лар учун деб олиш тавфсия этилади. функция тоқ, яъни , бўлгани учун жадвалда учун функция қийматлари берилмаган.
(Пуассоннинг лимит теоремаси) Агар та эркли синовлар кетма-кетлигида ҳодисанинг марта рўй беришида, фиксирланган, ва эса ўзгарувчан бўлиб, ва лар мос равишда чексизликка ва нолга шундай интилсаки, миқдор чегараланган бўлиб қолаверса: , яъни турли сондаги тажрибалар кетма-кетлигида ( турлича бўлганда ҳам) ҳам ҳодиса рўй беришининг ўртача сони ўзгармай қолаверса, эҳтимоллик учун

муносабат ўринли бўлади.
Мисол.
Қўшма корхона истеъмолчига 5 мингта сифатли маҳсулот жўнатди. Маҳсулотнинг йўлда шикастланиш эҳтимоли 0,001 га тенг бўлса, йўлда икки ёки ундан ортиқ маҳсулотнинг шикастланиш эҳтимолини топинг.
Ечиш. Шикастланган маҳсулотлар сонини десак, изланаётган эҳтимол бўлиб, у қуйидагига тенг бўлади:
.
Бизнинг ҳолда синашлар сони катта ва ҳодиса рўй бериш эҳтимоли 0 га яқин бўлганлиги учун Пуассон теоремасидан фойдаланамиз. эканлигиниэътиборгаолсак:

У ҳолда: .
4. Тез ёрдамга бир минутда 2 та чақириқ келсин. 5 минутда:
а) 2 та чақириқ; б) камида 2 та чақириқ; в) 2 та чақириқдан кам бўлиш эҳтимоли топилсин. Ҳодисалар оқими оддий деб қаралсин.
Ечиш.
Шартга асосан, . формуладан фойдаланамиз.
а) .
б) .
в) .


Ўз-ўзинитекширишучунсаволлар.

1. 
   Ҳодисалар йиғиндиси ва кўпайтмаси амалларини таърифланг.
   
2. 
   Қарама-қарши ҳодисалар таърифини беринг.
   
3. 
   Эркли ҳодисалар таърифини беринг.
   
4. 
   Шартли эҳтимол таърифини келтиринг.
   
5. 
   Эҳтимолларни қўшиш теоремаларини айтинг.
   
6. 
   Эҳтимолларни кўпайтириш теоремаларини келтиринг.
   
7. 
   Ҳодисалар тўла группасига таъриф беринг ва мисоллар келтиринг.
   
8. 
   Тўла эҳтимол формуласида қандай шартлар талаб қилинади?
   
9. 
   Бейес формуласи ва тўла эҳтимол формулалари орасидаги умумийлик, ҳамда фарқ қилувчи жиҳатларни айтинг.
   

Мустақил ишлаш учун масалалар.

1. 
   эркли ҳодисаларнинг рўй бериш эҳтимоллари мос равишда га тенг бўлсин.
   

а) фақат битта ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли;
в) фақат иккитта ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли;
с) учала ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли;
д) ҳеч бўлмаганда битта ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли топилсин.
2. I ва II тўплардан ўқ отишда нишонга теккизиш эҳтимоллари мос равишда ва . Бир йўла отишда тўплардан камида бирининг нишонга теккизиш эҳтимолини топинг.
3. Қутида 5 та оқ, 8 та қора шар бор. Қутидан қайтарилмасдан иккита шар олинди. Олинган шарларнинг турли рангда бўлиш эҳтимолини топинг.
4. Қутида 5 та оқ, 8 та қора, 7 та қизил шар бор. Қутидан қайтарилмасдан учта шар олинди. Олинган шарларнинг турли рангда бўлиш эҳтимолини топинг.