|
1-таъриф. Агар тажриба натижасида -ҳодисалар тўпламидан ҳеч бўлмаганда биттаси рўй берса ва улар жуфт-жуфти билан биргаликда бўлмаса, у ҳолда бу ҳодисалар тўплами тўлагруппа ташкил этади дейилади.
Таърифга биноан, агар ҳодисалар тўла группа ташкил этса, у ҳолда
муносабатларўринлидир.
Мисол.
1. Иккитаталабабирор спорт нормативинитопширмоқда. Бусиновда: -фақат битта талабанинг нормативни топшириш; -иккала талаба ҳам нормативни топшириши; -талабаларнинг иккаласи ҳам нормативни топшира олмаслиги бўлса, бу ҳодисалар тўпламитўла группа ташкилэтади.
Тўла группа ташкилэтувчи -ҳодисаларучунхосбўлганқуйидагитеореманикелтирамиз.
1-теорема.Тўла группа ташкилэтувчи -ҳодисаларэҳтимолларинингйиғиндисибиргатенг:
. (1)
Исбот. Таърифга асосан тўла группа ташкил этувчи ҳодисалардан ҳеч бўлмаганда бирининг рўй бериши муқаррардир: муқаррар ҳодисанинг эҳтимоли эса бирга тенг бўлгани учун
.
Таърифга асосан тўла группада исталган иккита ҳодиса биргаликда эмас, шунинг учун қўшиш теоремасига кўра:
.
Ҳодисалар тўла группаси тушунчаси ёрдамида қарама-қарши ҳодисаларни қуйидагича таърифлаш ҳам мумкин.
2-таъриф. Агар иккита ҳодиса тўла группа ташкил этса, у ҳолда бу ҳодисалар қарама-қарши ҳодисалар деб аталади.
Юқоридаги 1-теоремага асосан, қарама-қарши ҳодисалар эҳтимолларининг йиғиндиси бирга тенг:
. (2)
Одатда, қарама-қарши ҳодисалардан бирининг эҳтимоли орқали белгиланса, иккинчисининг эҳтимоли орқали белгиланади. Шундай қилиб, .
Шуни таъкидлаб ўтамизки, ҳодисанинг эҳтимолини топишга доир масалаларда кўпинча аввал ҳодисанинг эҳтимолини ҳисоблаш, кейин эса изланаётган эҳтимолни қуйидаги формула орқали топиш қулай бўлади:
. (3)
Мисол.
2.Қутида 20 та деталь бўлиб, улардан 12 таси стандарт. Таваккалигаолинган 5 та деталь орасидакамида 1 стандарт деталь бўлишиэҳтимолинитопинг.
Ечиш. олингандеталларичидакамидабиттаси стандарт ва -олингандеталларорасидабиттаҳам стандарт деталь йўқҳодисалариқарама-қаршиҳодисалардир.
Бунда эҳтимолнитопишосонроқ.
, .
ҳодиса тўла группа ташкил этувчи биргаликда бўлмаган -ҳодисалардан биттасининг амалга ошиш шартида рўй бериши мумкин бўлсин. -ҳодисалардан ҳар бирининг рўй бериш эҳтимоллари ва -шартли эҳтимолликлар маълум бўлсин. У ҳолда, ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли қандай топилади саволига қуйидаги теорема жавоб беради.
2-теорема. Агар ҳодиса тўла группа ташкил этувчи, биргаликда бўлмаган -ҳодисалардан биттасининг амалга ошиш шарти билан рўй берса, у ҳолда ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли:
. (4)
Исбот. Теорема шартига асосан, ҳодиса рўй бериши учун биргаликда бўлмаган ҳодисалардан биттасининг рўй бериши зарур ва етарли, яъни
.
теорема шартига асосан ҳодисалар тўплами биргаликда бўлмаганлиги ва учун
.
(4) формула «тўла эҳтимол формуласи» деб аталади.
Тўла эҳтимол формуласи шартларида ҳодисанинг рўй беришида -ҳодисалардан қайси бирининг амалга ошиши олдиндан маълум бўлмаганлиги сабали -ҳодисалар гипотезалар деб аталади.
Фараз қиламиз, тажриба ўтказилган бўлиб, унинг натижасида ҳодиса рўй берган бўлсин. гипотезаларнинг эҳтимоллари қандай ўзгарганлигини ( ҳодиса рўй берганлиги сабабли) аниқлаш масаласини қараймиз. Бошқача айтганда
шартли эҳтимолларни излаймиз.
Кўрсатилган эҳтимоллардан бирини масалан, ни топамиз. Кўпайтириш теоремасига кўра:
.
Бундан
.
Бу муносабатдаги эҳтимолни унинг тўла эҳтимол формуласидаги ифодаси билан алмаштириб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
Қолган гипотезаларнинг шартли эҳтимоллари ҳам шунга ўхшаш келтириб чиқарилади. Шундайқилиб, ихтиёрий гипотеза учун
. (5)
Бу формулалар Бейес формулалари деб аталади (Том Бейес (1702-1761)-инглиз математиги). Бейес формулалари тажриба натижасида ҳодиса рўй берганлиги маълум бўлгандан сўнг гипотезаларнинг эҳтимолларини қайта баҳолаш имконини беради.
Тўла эҳтимол формуласи ва Бейес формулаларининг қўлланишига доир қуйидаги мисолни қараймиз.
Мисол.
3. Талабаларнинг саралаш спорт мусобақасидақатнашиши учун курснинг I группасидан 4 та, II группасидан 6 та, III группасидан 5 та талаба ажратилган. I, II ва III группа талабаларининг институт терма командасига кириш эҳтимоллари мосравишда 0,9; 0,7; ва0,8 гатенг. Қуйидагиларни топинг:
а) таваккалига танланган талабанинг терма командага тушиш эҳтимоли;
б) таваккалига танланган талаба терма командага кирган бўлса, унингI, II, IIIгруппаданбўлишэҳтимоллари.
Ечиш. Танланган талабанинг терма командагакириши - ҳодиса бўлсин. У ҳолда талаба танлаш ҳодисасини қуйидаги элементар ҳодисаларга ажратиш мумкин:
-танланган талабанинг I группадан бўлиши;
-танланган талабанинг II группадан бўлиши;
-танланган талабанингIIIгруппаданбўлиши.
Масалашартигакўра -ҳодисалартўла группа ташкилэтади, чунки талаба танлашда бошқа элементар ҳодиса бўлиши мумкин эмас, ҳамда улар биргаликда бўлмайди. У ҳолда:
.
а) таваккалига танланган талабанинг терма командага кириш эҳтимолини (5) формулага асосан топамиз:
.
б) Бейесформуласигаасосан:
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
