Доцент т х. Адировнинг маърузаси

3-теорема. Бир-бирига боғлиқ икки ва ҳодисаларнинг бир пайтда (биргаликда) рўй бериш эҳтимоли- учун
ёки (8)
формула ўринли.
Исбот. тажрибанинг ҳодиса рўй берадиган ёки рўй бермайдиган жами ҳодисалар сони; ҳодиса рўй беришга қулайлик туғдирувчи ҳодисалар сони ; тажрибанинг ҳодиса рўй берди деган фаразда ҳодиса рўй берадиган ҳодисалар сони, яъни бу ҳодисалар ҳодисанинг рўй беришига қулайлик туғдиради.
ва ҳодисаларнинг биргаликда рўй бериш эҳтимоли:

ва эканлигиэътиборгаолибқуйидагиниҳосилқиламиз:

бўлганлиги учун теоремани ҳодиса учун қўллаб қуйидаги тенгликни ҳосил қиламиз.

3-натижа. Агар ҳодисаларнинг ҳар бирининг рўй бериш эҳтимолини топишда ундан олдинги барча ҳодисалар рўй бериб бўлган деб ҳисобланса, ҳодисаларнинг бир пайтда (биргаликда) рўй бериш эҳтимоли- учун
(9)
формула ўринли.
Шартли эҳтимол тушунчасидан фойдаланиб, эркли ҳодисаларни бошқача таърифлаш мумкин.
9-таъриф. Агар ва ҳодисалар учун ёки бўлса, ва эркли ҳодисалар дейилади.
ҳодисага қарама-қарши ҳодиса деб, ҳодисанинг рўй бермаслигидан иборат бўлган ҳодисага айтилади ва каби белгиланади. Қарама-қарши ва ҳодисалар учун

муносабатўринлиэканлигинитушунишқийинэмас.
ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли , рўй бермаслик эҳтимоли деб олинади ва тенглик ҳар доим ўринли бўлади.
Мисол.
4. ҳодиса кубик бир марта ташланганда «6» очко тушишини билдирсин. У ҳолда ҳодиса «6» очко тушмаслигини, яъни қолган 1,2,3,4,5 очколардан бирортасининг тушишини билдиради.
Эслатма. Агар ҳодисалар биргаликда боғлиқмас бўлса, у ҳолда уларга қарама-қарши бўлган ҳодисалар ҳам биргаликда боғлиқмас бўлади.
4-теорема. Биргаликда бўлган иккита ҳодисадан камида биттасининг рўй бериш эҳтимоли шу ҳодисаларнинг эҳтимоллари йиғиндисидан уларнинг биргаликда рўй бериш эҳтимолининг айрилганига тенг:
. (9)
Исбот. Таърифга кўра ҳодиса ёки , ёки , ёки ҳодисанинг рўй беришидан иборат, яъни
.
ва ҳодисаларбиргаликдаэмас. Шунингучун,
. (10)
Энди муносабатлардан
ва
тенгликларниҳосилқиламиз. Бутенгликларни (10) ифодагақўйсак:
.
(9) формула -ҳодисалар учун қуйидаги кўринишда бўлади (Буль формуласи)
. (11)
Мисол.
5. I ва II тўплардан ўқ отишда нишонга теккизиш эҳтимоллари мос равишда ва . Бир йўла отишда тўплардан камида бирининг нишонга теккизиш эҳтимолини топинг.
Ечиш. ҳодиса-I тўпдан отилган ўқнинг нишонга тегиши; ҳодиса-II тўпдан отилган ўқнинг нишонга тегиши бўлсин. Тўплардан отилган ўқларнинг нишонга тегиши бир-бирига боғлиқмас. Шунинг учун ва ҳодисалар эркли ҳодисалардир. Демак, 2-теоремани қўллаш мумкин:
.
У ҳолда:
.
4-теоремани бирликда эркли бўлган -ҳодисалар учун умумлаштириш мумкин. Теоремани исботсиз келтирамиз.
5-теорема. Бирликда эркли бўлган -ҳодисалардан ҳеч бўлмаганда биттасининг рўй бериш эҳтимоли

формула билан аниқланади. Бу ерда .
Шу пайтгача бирор бир ҳодисанинг рўй бериш эҳтимолини ҳисоблашда бу ҳодисанинг рўй бериши учун шароит яратиб берувчи факторларни эътибордан четда қолдирдик. Амалиётда эса бундай ҳолатнинг учраши деярли мумкин эмас. Шу сабабли, ҳодиса рўй беришига таъсир этувчи барча факторларни эътиборга олиб унинг эҳтимолини ҳисоблаймиз. Бунинг учун тўла группа ташкил этувчи ҳодисалар тўпламига доир баъзи бир хоссаларни кўриб чиқамиз.
Маълумки, тўла группа ташкил этувчи ҳодисалар қуйидагича таърифланади.