Длина дуги кривой. Спрямляемая кривая. Натуральный параметр и натуральные уравнения

Длина дуги как параметр
Выберем на кривой, параметризованной с помощью произвольного параметра , некоторую точку , соответствующую значению параметра , и назовем ее начальной точкой. Длина дуги, имеющей начало в точке и конец в произвольной точке кривой , определится формулой

Она определяет s как однозначную и непрерывную функцию параметра
. Так как производная этой функции

положительна во всех не особых точках кривой, то эта функция монотонно

возрастает при возрастании значения параметра. Отсюда следует, что меж-
ду точками кривой и значениями длины дуги, описываемой от начальной
точки, можно установить взаимно однозначное и непрерывное соответствие.
Заметим, что точкам кривой, расположенным по разные стороны начальной
точки, соответствуют различные значения параметра, так как при зна-
чение s, определяемое интегралом II.20, будет отрицательным, а при
оно будет положительным.
Ввиду того что точки кривой и значения длины дуги s находятся во взаимно однозначном и непрерывном соответствии, s можно принять за новый параметр. Этот параметр, как мы увидим ниже, особенно удобен для изучения кривой по ее уравнению и называется натуральным параметром кривой.
Итак, значение натурального параметра для некоторой точки кривой рав-
но по величине длине дуги кривой между некоторой точкой, принятой за
начальную, и данной точкой, знак же его определяется в зависимости от
выбора направления движения по кривой, условно принятого за положи-
тельное.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ
Понятие кривой является одним из основных в дифференциальной геометрии. Первоначально этому понятию не давалось точного математического определения. Евклид в своих ’’Началах” называет линией длину без ширины или границу поверхности. В древние времена были найдены многие интересные кривые, но представление об общем виде кривой оставалось на наглядном уровне. Дальнейший прогресс в технике потребовал развития естествознания, особенно механики, опирающейся на математический аппарат. Потребовалось ясное понимание ее основ, в частности точное представление о кривой. Предложенный Декартом метод координат впервые позволил сформулировать понятие кривой в довольно общей форме. Так, плоской кривой, задаваемой уравнением Ф(х, у) = 0, стали называть множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Из механики возникло представление о кривой как о траектории движущейся точки с координатами, зависящими от времени t. Жордан дал следующее определение: кривой в пространстве называется множество точек пространства, координаты которых х, у, z являются непрерывными функциями

от некоторого параметра t, изменяющегося на отрезке [а, b]числовой оси. Иначе говоря, кривой является образ непрерывного отображения отрезка [a b] в пространство. Это определение казалось вполне соответствующим наглядному представлению о кривой, но в 1890 г. Пеано построил такое непрерывное отображение отрезка [а, b], образом которого является целый квадрат на плоскости. Мы рассмотрим этот пример ниже. В 1897 г. Клейн писал: ’’Что такое произвольная кривая, произвольная поверхность? .. Можно сказать, что с математической точки зрения в настоящее время нет ничего темнее и неопределеннее, чем упомянутое понятие. То, что мы в эмпирическом представлении называем кривою, есть, прежде всего, полоса, т.е. часть пространства, в которой перед размерами длины отступают прочие измерения. ..
Но если кривая должна стать предметом точного математического рассмотрения, то мы должны ее идеализировать точно так же, как это бывает повсюду в начале геометрии с точкой. И здесь-то начинаются трудности... Обратимся теперь к предложению, которое Риман поставил во главу своих исследований о ’’гипотезах геометрии”, именно, что точечное пространство можно рассматривать как трояко-протяженное непрерывное числовое многообразие... Мы начинаем с того, что на начерченной или какой-либо другой материальной прямой линии строим фактически шкалу равноотстоящих точек (масштаб). Части этой шкалы мы затем снова подразделяем до тех пор, пока это оказывается практически выполнимым. .. И теперь мы делаем решающий шаг от опыта к аксиоме: мы постулируем, что соответствие между точкой и числом имеет место не только в пределах эмпирической точности, но и абсолютно”. Заметим, что Веронезе, отказавшись от этой аксиомы, рассматривал геометрию, в которой предполагается, что на прямой рядом с рациональными и иррациональными числами имеются еще и другае числа. Однако это предположение не приводит к существенным геометрическим фактам, да и с точки зрения приложений в развитии этой гипотезы пока нет необходимости. Другой крайний взгляд на пространство дает дискретная геометрия. Риман писал: ’’Вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве. Этот вопрос, конечно, также относится к области учения о пространстве, и при рассмотрении его следует принять во внимание сделанное выше замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда следует, что пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение или то реальное, что создает идею метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное”.
В дифференциальной геометрии используется определение кривой, данное Жорданом, но несколько видоизмененное. Сначала мы определим элементарную кривую. Пусть задано некоторое отображение φ интервала (а, b) числовой прямой в пространство. Отображение φ называется непрерывным в точке если для любого числа е > 0 найдется число S > 0 такое, что если точка удовлетворяет неравенству X-Y < , то расстояние от точки φ (Х) до точки φ ( Y) меньше е. Отображение у будем называть непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке интервала (а, b).
Отображение φ взаимно однозначно, если в каждую точку образа интервала (а, b) отображается только одна точка. Образ интервала (а, b) обозначим φ. Если отображение φ взаимно однозначное, то можно определить обратное отображение , областью определения которого является множество φ. Именно, если точка φ, то отображение φ -1 ставит в соответствие точке φ ее прообраз при отображении φ, т.е. если и , то . Обратное отображение непрерывно в точке , если для любого числа найдется такое, что если и расстояние в пространстве от Р до Q меньше , то

On ределение. Множество у точек пространства называется элементарной кривой, если это множество является образом интервала при взаимно однозначном отображении φ, которое непрерывно само и обладает непрерывным обратным отображением .
Заметим, что взаимно однозначное непрерывное отображение, для которого обратное отображение тоже непрерывно, называется топологическим отображением.
Пусть каждой точке X интервала (а, b ) соответствует число t. Этой точке на интервале соответствует в пространстве точка . Пусть в пространстве введены декартовы координаты х, у, z. Тогда каждому числу соответствует точка Р, а ей соответствуют три пространственные координаты х, у, z. Поэтому пространственные координаты точки φ являются функциями от параметра t:

Эти равенства называют уравнениями кривой у в параметрической форме. Если интервал (а, b) взаимно однозначно и непрерывно отображается на другой интервал (с, d), каждой точке которого ставится в соответствие некоторое число т, то можем считать, что t является монотонной функцией от т: t =t(r). В этом случае на кривой у можем определить новый параметр т, определенный на интервале (с, d). Сложное отображение интервала (с, d) сначала на интервал (а, b) и затем на у является топологическим. Поэтому говорят, что кривая у имеет наряду с представлением (1) и эквивалентное представление:

Элементарная кривая может иметь довольно сложное строение.
Например, проекция элементарной кривой на плоскость может оказаться кривой Пеано и, следовательно, может покрыть квадрат.
Определим теперь простую кривую. Множество у точек пространства называется простой кривой, если у является топологическим образом либо открытого отрезка прямой, либо окружности. Топологический образ окружности называют замкнутой жордано- вой кривой.
Свойство связности кривой. Установим теперь важное свойство связности кривой. Точка пространства называется предельной для точек множества М, если в любую окрестность точки попадают точки множествам. Некоторое множество точекМназывается связным, если его нельзя разбить на два непересекающихся подмножества и таких, что каждое из них не содержит предельных точек другого.
Покажем, что любой отрезок [a, b] числовой прямой является связным множеством. Допустим, что это не так и отрезок [а, b] можно разбить на два множества и таких, что каждое из них не содержит предельных точек другого. Множества Mt замкнуты. Действительно, если точка f,-, то найдется окрестность этой точки, состоящая полностью из точек этого множества, т.е. множество М, замкнуто. Пусть точка b принадлежит множеству . Пусть с — верхняя грань точек множества . Точка с является предельной точкой множества , поэтому она принадлежит замкнутому множеству и не совпадает с b. Но так как с — верхняя грань точек множества , то точки х>с принадлежат . Поэтому точка с — предельная точка множества и, следовательно, принадлежит . Таким образом, точка с принадлежит и , что невозможно.
Покажем, что свойство связности сохраняется при топологическом отображении. Допустим М — связное множество и f — его топологическое отображение. Предположим, что образ М, т.е. , не является связным. Тогда найдутся два множества А таких, что = A U В и ни одно из них не имеет предельных точек другого множества. Рассмотрим множества и в М. Так как М — связное множество, то найдется точка Х е е (Л), являющаяся предельной точкой для . Так как/ - непрерывное отображение то для любой заданной окрестности QYМы будем рассматривать также кривые с самопересечениями. Пусть интервал (а, Ь) или окружность непрерывно отображаются в пространство, причем для каждой точки прообраза существует окрестность, образом которой является элементарная кривая. Такие кривые называют общими. Одна и та же точка этой кривой может соответствовать различным значениям параметра t — это точка самопересечения. При изменении параметра t от а до b соответствующая точка на кривой пройдет через точку самопересечения по крайней мере два раза.