Длина дуги кривой. Спрямляемая кривая. Натуральный параметр и натуральные уравнения

«Доказательство». Вашему вниманию предлагаются следующие рассуждения, представляющие «процесс восстановления».
Пусть α(s) = (x(s), y(s)) — искомая гладкая кривая 1) и− — неизвестный пока касательный вектор искомой кривой. Мысленно отложим его от начала координат (от точки o(0, 0)). 2) Поскольку — вектор еди-ничной длины, то его конец ока-жется на единичной окружности(см. рис. 2).
Это означает, что в окрестности момента можно указать такую функцию (угол между осью OX и вектором в момент s), что

причем θ(s) — гладкая функция.
Тогда

т. е.
Но из уравнений Френе мы знаем, что на самом деле ˙
Поэтому

Это еще раз напоминает нам механический смысл кривизны кривой как скорости поворота касательного вектора(скорости изменения угла его наклона к оси OX) и, между прочим, подтверждает нашу веру в гладкость функции θ(s).
После получения ключевого соотношения дальнейшее развитие событий очевидно. Поскольку функция k(s) и начальные условия нам даны, а то последовательно
находим желаемое:


Обведите у себя в тетрадке эти формулы в рамочку — они как раз и позволяют вычислить (если повезет взять эти жуткие интегралы!) параметризацию искомой кривой α(s). «Доказательство» «теоремы» на этом заканчивается.
Весь предыдущий рассказ этого пункта позволяет, наконец,
дать такое
Определение 1. Уравнение или равносильные ему параметрические уравнения , называются натуральными уравнениями кривой α(s). Согласно «теореме» 14.1 эти уравнения определяют кривую α(s) с точностью до расположения на плоскости, т. е. с точностью до изометрии, а в совокупности с начальными условиями натуральные уравнения определяют кривую α(s) однозначно.
Замечание 1. Педагогический опыт автора показывает, что студенты взяли моду путать понятия «натуральные уравнения» кривой и «натуральная параметризация» кривой. Балбесы! Я им не завидую, особенно на экзамене. В заключение п. 14 хочется еще раз посетовать, что все рассуждения получились у нас очень уж нестрогими, скорее это были некоторые «наброски» идей и рассуждений, которые обретут законную силу в следующем параграфе. Однако для педантичных читателей, любителей строгости и завершенности рассуждений, приведу назревшее к этому моменту упражнение. Оно расставит все точки над «ı».