Diskret tasodifiy miqdorning o‘rtacha qiymati xaraktеristikasi bo‘lib matеmatik kutilish xizmat qiladi

2-misol. 
Quyidagi taqsimot qatori bilan berilgan tanlanmaning empirik taqsimot 
funksiyasini tuzing va grafigini chizing.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i
x
1 
4 
6 
i
n
10 
15 
25 
Yechish: 
50
25
15
10
3
2
1
=
+
+
=
+
+
=
n
n
n
n
;
2
.
0
5
1
50
10
=
=
=
t
W
;
3
.
0
10
3
20
15
2
=
=
=
W
5
.
0
2
1
50
25
3
=
=
=
W
U holda, nisbiy chastotalar empirik taqsimoti 
i
x
1 
4 
6 
i
w
0.2 
0.3 
0.5 
Empirik taqsimot funksiya quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi. 













=

lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
F
i
n
'
,
6
,
,
1
'
,
6
4
,
,
5
.
0
'
,
4
1
,
,
2
.
0
'
,
1
,
,
0
)
(
Topilgan qiymatlar asosida grafikni yasaymiz. 
3-misol.
Berilgan tanlanma taqsimoti bo‘yicha chastotalar va nisbiy chastotalar poligonlarini 
chizing. 
i
x
1 
2 
4 
5 
8 
i
n
5 
10 
15 
7 
3 
Yechish: n=5+10+15+7+3=40 tanlanma hajmi. Chastotalar poligoni quyidagi 
ko‘rinishda bo‘ladi. 
1 4 6 
( )
x
F
n
*
1 
0,5 
0,2 
x

---

Nisbiy chastotalarni topamiz. 
40
5
=
t
W
;
40
10
2
=
W
;
40
15
3
=
W
;
40
7
4
=
W
;
40
3
5
=
W
; 
 
i
x
 
1 
2 
4 
5 
8 
i
w
 
40
5
 
40
10
 
40
15
 
40
7
 
40
3
 
U holda, nisbiy chastotalarni poligoni quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi. 
 
4-misol.
Berilgan tanlanma taqsimoti bo‘yicha chastotalar va nisbiy chastotalar gistogrammalarini 
chizing. 
Interval nomeri 
Qism interval 
Intervaldagi 
variantalar chastotalari 
yig‘indisi 
Chastotalar zichligi 
Nisbiy chastotalar 
Nisbiy chastotalar 
zichligi 
I 
1
+
−
i
i
x
x
i
n
i
n
/h 
i
w
i
w
/h 
1 2 3 4 5 6 7 8 
i
w
40
15
40
10
40
5
i
x
1 2 3 4 5 6 7 8 
i
n
15 
10 
5 
i
x

---

1 
5–10 
2 
0.4 
15
1
150
2
2 
10–15 
6 
1.2 
5
1
150
6
3 
15–20 
12 
2.4 
5
2
150
12
4 
20–25 
10 
2 
3
1
150
10
Chastotalar gistogrammasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.
Nisbiy chastotalar gistogrammasi esa quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 10 15 20 25 
h
n
i
2,4 
1 
0,4 
i
x
5 10 15 20 25 
h
w
i
150
12
150
6
150
3
i
x

---

Taqsimot parametrlarining statistik baholari. 
Tanlanmaning asosiy sonli xarakteristikalari 
 
X belgili bosh to‘plamning taqsimot funksiyasi 
)
,
(

x
F
bo‘lib, 

noma’lum parametr 
bo‘lsin, 
n
x
x
x
,...
,
2
1
esa bosh to‘plamdan olingan tanlanma bo‘lsin. Tanlanmaning ixtiyoriy 
funksiyasi 
)
,...
,
(
2
1
n
x
x
x
L
 
statistika deyiladi. 
Statistikaning kuzatilgan qiymati 
L=
)
,...
,
(
2
1
n
x
x
x
L

parametrning taqribiy qiymati sifatida 
olinadi. Bu holda 
)
,...
,
(
2
1
n
x
x
x
L
 
statistika 

parametrning bahosi deyiladi. 

=

=
n
i
i
x
n
x
1
1
Tanlanmaning o‘rta qiymati, 

=
−
=
n
i
T
i
T
x
x
n
D
1
2
)
(
1
tanlanmaning dispersiyasi deyiladi. 
Variatsiya chegarasi (R) - variatsion qatorning ekstremal qiymatlari farqiga aytiladi. 
min
max
X
X
R
−
=
(3.9) 
 
O‘rtacha chiziqli farq 
( )

: 
n
X
X

−
=

(torttirilmagan), (3.10) 



−
=
m
m
X
X

(torttirilgan) (3.11) 
Dispersiya
( )
2

- variantlarning arifmetik o‘rtachadan farqlarining o‘rtacha kvadrati. 
(
)
n
X
X

−
=
2
2

(torttirilmagan), (3.12) 
(
)



−
=
m
m
X
X
2
2

(torttirilgan) (3.13) 
O‘rtacha kvadratik farq 
( )

- belgining o‘zgarishini ifodalaydi va quyidagicha hisoblanadi: 
(
)
n
X
X

−
=
2

- (torttirilmagan), (3.14) 
(
)



−
=
m
m
X
X
2

- ( torttirilgan) (3.15) 
Variatsiya koeffitsiyenti (V)
- nisbiy ko‘rsatkich bo‘lib, belgining o‘zgarishini ifodalaydi va 
protsentlarda ifodalanadi. 
%
100

=
X
R
V
R
- variatsiya chegarasi bo‘yicha variatsiya koeffitsiyenti, 
kossillyatsiya 
koeffitsiyenti
. 
%
100

=
X
V


- o‘rtacha chiziq farq bo‘yicha variatsiya koeffitsiyenti. 
%
100

=
X
V


- kvadrat farq bo‘yicha variatsiya koeffitsiyenti. 
Moda 
0
M
deb eng katta chastotaga ega bo‘lgan variantaga aytiladi. Masalan, ushbu 

---

variant 1 4 7 9 
chastota 5 1 20 6 
qator uchun moda 7 ga teng. 
Mediana 
e
M
deb variatsion qatorni variantalar soni teng bo‘lgan ikki qismga ajratadigan 
variantaga aytiladi. Agar variantalar soni toq, ya’ni 
1
2
+
=
k
n
, bo‘lsa, u holda 
1
+
=
k
e
X
M
; 
n
juft, 
ya’ni 
k
n
2
=
da mediana: 
2
1
+
+
=
k
k
e
X
X
M

T
x
–tanlanma o‘rtacha bosh to‘plam o‘rta qiymati uchun siljimagan, asosli va samarali baho 
bo‘ladi. 
T
D
-tanlanma dispersiya bosh to‘plam dispersiyasi uchun asosli baho bo‘ladi. 
T
D
n
n
S
1
−
=
– bosh to‘plam dispersiyasi uchun siljimagan, asosli baho bo‘ladi. 
Tanlanma o‘rtacha va tanlanma dispersiyalarni hisoblashni soddalashtirish uchun ba’zan 
quyidagi formulalardan foydalaniladi: 
h
c
x
u
i
i
−
=
,
n
l
i
,
=
,

=
=
n
i
i
u
n
u
1
1
,
c
h
u
x
T
+

=
, 

=
−
=
n
i
i
u
T
u
u
n
D
1
2
)
(
1
,
u
T
x
T
D
h
D

=
2
bu yerda c va h sonlari hisoblashni yengillashtiradigan qilib tanlanadi. 
1-misol.
Sterjenning uzunligi 5 marta o‘lchanganda quyidagi natijalar olingan: 92, 94, 103, 
105, 106. 
a)
Sterjen uzunligining tanlanma o‘rta qiymatini toping. 
b)
Yo‘l qo‘yilgan xatolarning tanlanma dispersiyasini toping. 
Yechish: a)Tanlanma o‘rtacha 
T
x  
ni topish uchun shartli variantalardan foydalanamiz, chunki 
dastlabki variantalar katta sonlardir.
92
−
=
i
i
x
u
100
8
92
5
14
13
11
2
0
92
=
+
=
+
+
+
+
+
=
T
x
b) Tanlanma dispersiyani topamiz. 
34
5
)
100
106
(
)
100
105
(
)
100
103
(
)
100
94
(
)
100
92
(
)
(
2
2
2
2
2
1
2
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
−
=

=
n
x
x
D
n
i
T
i
T
2-misol.
Bosh to‘plamdan n=60 hajmli tanlanma olingan. 
i
x
1 
3 
6 
26 
i
n
8 
40 
10 
2 
Bosh o‘rtacha qiymatning siljimagan bahosini toping. 
Yechish: Bosh o‘rtacha qiymatning siljimagan bahosi tanlanma o‘rtacha bo‘ladi. 
4
60
240
60
2
26
10
6
40
3
8
1
=
=

+

+

+

=
=

n
x
n
x
i
i
T
3-misol.
Ushbu n=10 hajmli tanlanma taqsimoti bo‘yicha tanlanma o‘rtachani va tanlanma 
dispersiyani toping. 
i
x
0.01 
0.04 
0.08 
i
n
5 
3 
2 
Yechish: 
i
i
x
u
100
=
, 
)
100
1
(
=
h
shartli variantalarga o‘tamiz va natijada quyidagi 
taqsimotni hosil qilamiz. 
i
u
1 
4 
8 
i
n
5 
3 
2 
3
.
3
)
2
8
3
4
5
1
(
10
1
=

+

+

=
=

n
u
n
u
i
i
, 
033
,
0
100
=
=
u
x
T

---

21
.
7
10
8
2
4
3
1
5
10
8
2
4
3
1
5
2
2
2
2
2
2
=





+

+

−

+

+

=






−
=


n
u
n
n
u
n
D
i
i
i
i
u
T
0007
.
0
21
.
7
100
1
2
2


=
=
u
T
x
T
D
h
D