Дискрет тасодифий миқдорнинг сонли характерстикалири

6. Дискрет тасодифий миқдорнинг дисперсияси ва унинг хоссалари.
Амалиётда масалар ечишда тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматларини унинг ўртача қиймат атрофида тарқоқлигани баҳолаш талаб қилинади, масалан ерга тушаётган космик кеманинг мўлжалга тушишида мўлжалдан қанча четланишини билиш муҳимдир. Тарқоқликни баҳолаш учун тасодифий миқдор четланиши ярамайди, чунки М(Х-М(Х))=0 албатта бу мақсадда четланишнинг абсалю қийматидан фойдаланиш мумкин ёки унинг квадратини ўртачасидан фойдаланиш мумкин. Амалиётда четланиш квадратнинг ўртачаси топилади ва уни тасодифий миқдорнинг дисперсияси дейилади.
Дискрет тасодифий миқдорнинг дисперсияси деб, тасодифий миқдорнинг ўзининг математик кутилишидан четланиши квадратнинг математик кутилишига айтилади.
Д(Х)=М[X-M(X)]²
Агар дискрет тасодифий миқдор ўзининг тақсимот қонуни билан берилган бўлса, яъни
бу вақтда четланиш квадрати қуйидаги тақсимот қонунига эга бўлади.

Бу вақтда Д(Х)=М(X-M(X))²=(х₁-M(X))²Р₁₊(х₂-M(X))²Р₂+…+(х_n-M(X))²P_n
Тасодифий миқдорнинг дисперсияси қуйидаги ҳоссаларга эга:


1. Ўзгармас миқдорнинг дисперсияси нолга тенг:
Д(С)=0
Ҳақиқатан Д(С)=М(С-М(С))²=М(С-С)²=М(О)=0


2. Ўзгармасни дисперсиядан квадратга кўтариб чиқариш мумкин, яъни
Д(СХ)=С²Д(Х)


3. Иккита эркли тасодифий миыдорнинг дисперсияси шу тасодифий миқдорлар дисперсиясининг йиғиндисига тенг:
Д(Х+Y)=Д(Х)+Д(Y)
Натижа.
Д(Х-Y)=Д(Х)+Д(Y), Д(С+Х)=Д(Х).
7. Дисперсияни хисоблаш формуласи.
Эркли синашларда ходиса рўй бериш сонининг дисперсияси.
Теорема. Дисперсия Х тасодифий миқдор квадратининг математик кутилишидан Хнинг математик кутилиши квадратини айирилганига тенг:
Д(Х)=М(Х²)-[М(Х)]²
Ҳақиқатан Д(Х)=М(Х-М(Х))²=М)-[Х²-2*М(Х)+М²(Х)]=М(Х²)-
-2М(Х)М(Х)+М²(Х)=М(Х²)-М²(Х)
Мисол. Қуйидаги тақсимот қонун билан берилган дискрет тасодифий миқдорнинг дисперсиясини топинг:

Х	1	3	5
Р	0,2	0,3	0,5

Ечиш. Берилган Х тасодифни миқдорнинг дисперсиясини, дисперсия таърифига асосан ва келтириб чиқарилган формула ёрдамида топамиз:

1. 
   Д(Х)ни таърифга асосан ҳисоблаймиз, бунинг учун Х тасодифий миқдорни математик кутилишини топамиз ва (Х-М(Х))² тасодифни миқдорнинг тақсимот қонуни тузамиз:
   

М(Х)=1*0,2+3*0,3+5*0,5=0,2+0,9+2,5=3,6

Д(Х)=(1-3,6)²*0,2+(3-3,6)²0,3+(5-3,6)² =6,76*0,2+0,36*0,3+1,96*0,5=
=1,352+0,108+0,98=2,44

2. Энди Д(Х)ни чиқарилган формула бўйича ҳисоблаймиз; бунинг учун М(Х²) ни ҳисоблаймиз.

Д(Х)=М(Х²)-(М(Х))²=15,4-12,96=2,44
Агар А ходиса устида n та эркли синов ўтказилаётган бўлиб, ҳар бир синовда ходисанинг рўй беришлар сонини Х тасодифи миқдор бўлса, унинг дисперсиясини қуйидаги теорема ёрдамида топиш мумкин:
Теорема: n та эркли синовда А ҳодиса рўй беришлар сонининг дисперсияси синашлар сонининг ҳар бир синашда ходисанинг рўй бериш ва рўй бермаслик эҳтимолларининг кўпайтмасига тенг: