|
Z ning asosiy teoremalari - transformatsiyalar.
Teoremani isbotlamasdan, biz keyingi bo'limlarda talab qilinadigan z - o'zgarishlarni sanab o'tamiz.
1. Lineerlik teoremasi.
Agar x (nT) = ax1 (nT) + bx2 (nT) bo'lsa,
keyin X (Z) = a X1 (Z) + bX2 (Z).
Kechiktirish teoremasi.
Agar x (nT) = x1 (nT - QT) bo'lsa,
keyin X (Z) = X1 (Z) ZQ.
Signal konvulsiyasi teoremasi.
Agar X (nT) = x1 (kT) x2 (nT - kT),
keyin X (Z) = X1 (Z) X2 (Z).
Signalni ko'paytirish teoremasi.
Agar x (nT) = x1 (nT) x2 (nT) bo'lsa,
keyin X (Z) = X1 (V) X2 ( ) V-1 dV,
bu erda V, Z - Z tekislikdagi o'zgaruvchilar.
Energiya teoremasi (Parseval tengligi).
x2 (nT) = X (Z) X (Z-1) Z-1 dZ.
Z - diskret signallarning transformatsiyasi uzluksiz signallarning Laplas konvertatsiyasi qiymatiga teng qiymatga ega.
Diskret Fourier konvertatsiyasi.
Agar signal tu qiymati bilan cheklangan bo'lsa va uning spektri ww chastotasi bilan chegaralangan bo'lsa, u vaqt ichida ham, chastota sohasida ham N sonli sonli sonlar bilan to'liq tavsiflanadi (1.7, a, b -rasm). ):
N = tu / T - vaqt sohasida, bu erda T = 1 / fd,
N = fd / f1 - chastota sohasida, bu erda f1 = 1 / tu.
Davriy spektr diskret signalga to'g'ri keladi, davriy signal diskret spektrga to'g'ri keladi. Bunda X (nT) = {X0 namunalari; X1; … XN-1}-X (jkw1) davriy ketma-ketlikdagi Fourier seriyasining koeffitsientlari, wd ga teng davr. Shunga ko'ra, hisobotlar X (jkw1) = {X0; X1; … XN-1}-X (nT) davriy ketma-ketlikdagi Fourier seriyasining koeffitsientlari, bu davr tuga teng.
Signal namunalari va spektr o'rtasidagi bog'liqlik diskret Fourier konvertatsiyasi (DFT) formulalari bilan o'rnatiladi. DFT formulalari diskret signallar uchun Fourier formulalaridan kelib chiqadi (1.5), agar w uzluksiz o'zgaruvchi kw1 diskret o'zgaruvchiga almashtirilsa, ya'ni
w ® kw1, dw ® w1.
(1.5) da o'zgaruvchini o'zgartirgandan so'ng, biz olamiz
X (jkw1) = x (nT ) ,
x ( nT) = X (jkw1) .
Demak, w1 = wd / N, T = 2p / wd almashtirilgandan so'ng, DFT formulalari oxirgi shaklni oladi.
X (jkw1) = x (nT ) - to'g'ridan -to'g'ri DFT,
x ( nT ) = X (jkw1) - teskari DFT (1.10)
Cheklangan spektrli signal, aniq aytganda, cheksiz uzunlik va shunga mos ravishda cheksiz sonli namunalar va uzluksiz spektrga ega. Agar signal namunalari soni cheklangan sonli N bilan chegaralangan bo'lsa, spektr uzluksiz bo'lib qoladi. Bu holda formulalar (1.10) diskret signalning N namunasi va uning uzluksiz spektrining N namunalari o'rtasidagi bog'liqlikni ifodalaydi, ular to'liq rekonstruksiya qilinishi mumkin. uning namunalaridan.
Misol. Rasmdagi signal spektrining namunalarini aniqlang. 1,5, a.
Bu erda N = 2 shuning uchun X (jkw1) = x (nT) e-jpkn shuning uchun
X (j0w1) = x (nT) e-j0 = x (0T) + x (1T) = a + b
X (j1w1) = x (nT) e-jpn = x (0T) e-j0 + x (1T) e-jp = a-b
Spektrni o'qish grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.5, b, bu erda w1 = wd / N = 0.5wd.
Cheklangan sonli N namunali signal cheksiz ko'p namunali signal spektrini cheklangan xato bilan takrorlaydigan spektrga ega: spektrlar kw1 mos yozuvlar chastotalariga to'g'ri keladi va boshqa chastotalarda farq qiladi. Spektrlar orasidagi farq kichikroq, kattaroq N.da. Aslida, haqiqiy signallar cheklangan energiyaga ega va shuning uchun ma'lum bir mos yozuvlar raqamidan boshlab, qolgan raqamlar ularning kichikligi tufayli e'tiborga olinmaydi, bu esa sezilarli bo'lmaydi. signal spektriga ta'sir qiladi.
Misol. Ko'rsatkichli impuls X (t) = Ae-at = 1 e-10t namunasini olish va original va diskret signallarning spektrlarini solishtirish.
Yechim.
X (t) signalining grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.8
T = 0,02s bo'lsin. Bunday holda, signal namunalarini silliq ulash orqali (1.8 -rasmda kesilgan chiziq) signal qoniqarli tarzda tiklanadi, garchi t = 0 nuqtasi yaqinida buzilishlar sezilsa, shuning uchun superpozitsiya xatolari qandaydir tarzda spektral xususiyatlar.
Tu = 0.4s ga ruxsat bering. Ushbu holatda
N = tu / T = 20.
W = 0 (k = 0) nuqtada to'g'ridan -to'g'ri DFT formulasi bo'yicha spektrni hisoblash quyidagicha yoziladi.
X (j0w1) = 1.0 + 0.8187 + 0.6703 + 05488 + 0.4493 + 0.368 + 0.3012 + 0.2466 + 0.2019 + 0.1653 + 0.1353 + 0.1108 + 0, 09072 + 0.07427 + 0.06081 + 0.04979 + 0.04076 + 0.03337 + 0.02732 + 0.02237
W = 0 nuqtadagi spektrning haqiqiy qiymatini analog ekspansional impuls spektrini bilgan holda aniqlash mumkin.
Xa (jw) = , shuning uchun Xa (j0) = = 0,1.
diskret va uzluksiz signallarning spektrlarini solishtirish uchun diskret spektrni T ga ko'paytirish orqali denormalizatsiya qilish kerak, chunki diskret signallar uchun Furye formulalari normallashtirilgan shaklda qo'llaniladi. Shunung uchun
X (jow1) = 5.41 T = 5.42X0.02 = 0.1082.
Shunday qilib, w = 0 nuqtada Xa (jw) va X (jw) spektrlarining mos kelishi ancha qoniqarli. Ba'zi noaniqliklar qoplamali xatolar ta'siridan kelib chiqadi.
Shuni ta'kidlash joizki, X (t) asl funktsiyasining maksimal tiklik nuqtalarida namuna olish bosqichini tanlashni nazorat qilish kifoya. Ko'rib chiqilgan misolda bunday nuqta t = 0 vaqtidir.
Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, DFT formulalari signallarni va ularning spektrlarini o'zaro konvertatsiya qilish uchun hisoblash tartibini soddalashtiradi, bu ayniqsa real vaqtda ishlaydigan texnik tizimlar uchun juda muhimdir. Bunday hollarda DFT formulalariga asoslangan tez Fourier transform (FFT) algoritmi qo'llaniladi. FFT algoritmi yordamida hisob -kitoblarning tezlashtirilgan protsedurasiga DFT formulalari yordamida hisob -kitoblarga xos bo'lgan takroriy arifmetik amallarni yo'q qilish orqali erishiladi.
A
Do'stlaringiz bilan baham: |
