Differensial va integral hisobning yaratilish tarixi

Aim.Uz

Differensial va integral hisobning yaratilish tarixi

• 
  1.Differensial tushunchasining vujudga kelish tarixi.
  
• 
  2.Integral tushunchasining tarixi.
  

Tayanch iboralar:differensial, hosila, integral, funksiya, hisob, tarixi, rivojlantirilishi
XVII asr yarmigacha ko’plab geometrik shakllarning yuzlari va hajmlarini topish infinitezimial usullar, ya’ni shaklni cheksiz ingichka qatlamlarga bo’lib yuz yoki hajmni topish (lotincha infinitum — cheksiz ma’nosini anglatadi) yoki bo’linmas qism tushunchasiga asoslangan usullardan foydalanib topilgan. Ko’pgina shakllarning yuzlari va hajmlarn, ba’zi chiziqlarga o’tkazilgan urinmalar va bu chiziqlar uzunliklari ana shunday usul bilan topildi. Lekin ayrim hollarda hajmlarni va uzunliklarni hisoblash yuzlarni hisoblashga keltirishi mumkinligi aniqlandi. Ingliz matematigi
I s a a k B a r r o u (1630-1677) esa yuzlarni hnsoblash va urinmalar o’tkazish, qo’shish va ayirish, ko’paytirish va bo’lish kabi munosabatda ekanligini aniqladi. O’sha davrda juda ko’p tadqiqotlar o’tkazilishiga qaramasdan, har xil masalalalar turli usullar bilan yechilar edi.Bunda quyidagi uchta usul ayniqsa ko’p qo’llanilar edi.

Galileyning shogirdi Bonaventura Kavalyeri (1598-1647) 1635 yilda nashr qilgan «Uzluksizlik yordamida yangi usullarda bayon etilgan geometriya» kitobida cheksiz kichiklarning qisqartirilgan ko’rinishini yaratdi.U bunda chiziqlar, nuqtalar, sirtlar-chiziqlar jismlar-sirtlar harakati bilan vujudga kelishi tasavvuriga tayandi.Bu kitobda yuz va hajmlarni hisoblashning yangi usuli-bo’linmaslar usulini ishlab chiqdi.Bo’linmaslar deb, tekis shaklning o’zaro parallel vatarlari yoki jismning parallel tekisliklari tushunilar edi. Kavalyeri ikkita o’xshash shaklning yuzlari mos bo’linmaslar kvadratlarining, hajmlari esa kublari nisbati kabi bo’lishliligi haqidagi teoremani isbotladi. Shuningdek,uchburchak bilan bir xil asos va balandlikka ega bo’lgan paralelogramm uchun uchburchak barcha bo’linmaslari kvadratlari yig’indisining parallelogramm barcha bo’linmaslari kvadratlari yig’indisiga nisbati 1:3 kabi bo’lishini aniqladi. Keyinchalik, shunga o’xshash munosabatlarni bo’linmaslarning kublari va h.k. to’qqizinchi darajalari yig’indisi uchun ham topdi. Hozirgi matematik tilda bu natijalar integralni uchun hisoblashga mos keladi. Unig yuz va hajmlarini hisoblash usuli ko’pincha Kavalyeri prinsipi deb ham ataladi. Bu prinsipga ko’ra jismlarning bir xil balandlikdagi tekis kesimlari bir xil yuzalarga ega bo’lsa, balandligi bir xil teng ikkita jism bir xil hajmga ega bo’ladi. Bunday prinsipni Kavalyeri yuazalarni taqqoslash uchun ham bayon etdi, bunda faqat kesimlar sifatida tekis (tekislikdagi) shakllarni emas, balki kesmalarni oldi. Umuman, Kavalyerining ishlari cheksiz kichiklar hisobining shakllanishida muhim ahamiyatga ega bo’lsada, lekin integral hisob usullari boshqacha yo’l bilan rivojlantirildi.
Shveysariyalik matematik Paul Guldin (Gyulden) (1577-1643)
yuza va hajmlarini hisoblashda og’irlik markazi xossalaridan foydalandi. Bunda u «aylanma jismning hajmi aylanayotgan shaklning yuzi bilan uning og’irlik markazining aylanishda bosib o’tgan yo’li uzunligi ko’paytmasiga teng, aylanma jism hajmi esa aylanayotgan chiziq uzunligi bilan uning og’irlik markazi chizib o’tgan aylana uzunligi ko’paytmasiga teng» degan xulosaga keldi. Mazkur sohada u I.Kepler va B.Kavalyeri g’oyalarini rad etar edi. O’zining «Og’irlik markazi haqida» (1635-43) nomli asosiy ishida aylanma jismlar sirtlari va hajmlarini aniqlashda qadimgi yunon matematigi Papp (III asrning ikkinchi yarmi) ishlarida isbotsiz berilgan teoremalardan foydalandi. Bu teoremalar hozirda Gyulden teoremalari deb ataladi.
Cheksiz kichiklar hisobining shakllanishida nemis astronomi va
matematigi Iogan Kepler (1572-1630) ishlarini ham ta’kidlab o’tish lozim. U 1609 yilda yozilgan «Yangi astronomiya» asarida cheksiz kichiklardan foydalanadi, lekin o’z g’oyalarining izchil bayonini 1615 yilda chop etilgan «Vino bochkalari stereometriyasi» nomli asarida berdi. Garchand, bu asar haddan tashqari amaliy, lekin tasodifiy sabab bilan yozilgan bo’lsa ham kvadraturalar va kubaturalar masalasiga yondoshishda o’z vaqtida yangicha g’oyani ilgari surdi, ya’ni yassi shakl soni cheksiz bo’lgan kichik elementlarga yoyilib, shu elementlarning o’zidan (zarur bo’lganda deformasiya qilinib) yuzi ma’lum bo’lgan shakl tuziladi (jismlar uchun ham shu singari ish ko’riladi). Bochkalarning hajmini aniqlashning juda ko’p qiziq usulini taklif etdi, uni aylanma jismlar hajmini aniqlash umumiy masalasi uchun qo’lladi. Arximedning ishlaridan ma’lum bo’lgan bo’llinmaslar usuli g’oyasidan foydalanib, kitobning «Arximedga ilova» bo’limida 92 ta aylanma jism hajmlarini hisoblab chiqdi. Ko’rinib turibdiki, XVII asr matematiklari cheksiz kichiklar tahlilini yaratishda katta yutuqlarni qo’lga kiritdilar. Lekin bu ishlarning dastlabki asoslarini yunon matematigi Arximed (milod.avv. III asr) ishlab chiqqan edi. U o’zining Eratosfen (taxminan milod.avv. 276-194 yillar) ga yuborgan «Maktubida» (u bizgacha yetib kelgan, uning ruscha tarjimasi bor) qo’lga kiritgan ilmiy natijalarini o’ziga xos usul yordamida erishganini yozadi; tashqaridan qaraganda bu yerda richagning muvozanatda bo’lish nazariyasi qo’llanilgandek tuyuladi, lekin bunda shakllarning chiziqlardan, jismlarning esa tekisliklardan barpo bo’lish g’oyasi ilgari surilgan. «Maktub» XVII asr matematiklariga ma’lum emas edi, uning matni asrimiz boshida tasodifan topilib qoldi. Arximedning ilmiy natijalarini uning saqlanib kolgan boshqa asarlariga asoslanibgina tushunib olish mumkin. Ayrim ilmiy ishlarida teskarisidan isbotlash vaqtida Arximed yassi shaklni (yoki jismni) elementlarga ajratish usulidan foydalangan, lekin bu elementlarning soni va har birining qalinligi chekli bo’lgan. Bunda u ichki chizilgan va tashqi chizilgan pog’onali shakllar (jismlar) ni tadqiq kilgan edi.
Fransuz matematigi Pyer Ferma (1601-1665) xatlarida Kavalyeri tomonidan erishilgan umumiy natijani undan birmuncha oldin topganligini ta’kidlagan. Fransuz matematigi, fizigi va faylasufi B l ye z P a sk a l (1623-1662)

va ingliz olimi Jon Vallislar ham arifmetik mulohazalarga asoslanib, integralni hisoblash ishini ketma-ket natural sonlarning n-darajalari yig’indisini tekshirish bilan bog’langan holda olib borar edilar.
Aniq integralning hozirgi zamon tushunchasiga hammadan ko’ra Paskal yaqin edi va uning kuch-qudratini bayon qilgan edi. Bunga Paskalning sikloidaga bog’liq masalalarni, turli yuzlarni, hajmlarni, yoylar uzunligini hisoblash masalalarini hal etganligini misol qilib keltirish mumkin. Ular «A.Dettonvilning geometriyadagi turli kashfiyotlar» nomli kitobida keltirilgan.
Differensial hisob bo’yicha ishlarni boshlab bergan olimlardan biri Fe r m a bo’lib, u ushbu ikki masala: eng katta va eng kichik qiymatlarni topish, urinmalar o’tkazish bilan shug’ullangan. Ferma bu masalalarii yechishda infinitezimal xarakterdagi usullarni ishlatgan. By masalalar yechimlari 1679 yilda (uning vafotidan keyin) chop etilgan «Eng katta va eng kichik qiymatlarni topish usuli» nomli ishida bayon qilingan.
Eng katta na eng kichik qiymatlarni topishning «Ferma qoidasi» funksional belgilashlarda quyidagicha ko’rinishni oladi: f(A) ifodani eng katta yoki eng kichik qiymatga erishtiruvchi A miqdorni topish uchun Ferma dastlab quyidagi takribiy tengliklarni karaydi:

Buni Ye ga bo’lib, tenglik hosil qiladi. Tenglikdan Ye ni o’z ichiga olib turgan hadlarni yo’qotadi, ya’ni deb faraz qiladi. U holda hosil bo’ladi, bu esa bizning belgilashlarimizda bo’ladi, bundan izlangan A topiladi. Ye miqdor bu mulohazalarda erkli o’zgaruvchining juda kam kichik orttirmasi rolini o’ynaydi.
Egri chiziqlarga urinmalar o’tkazish masalasini ham shu usul bilan yechish mumkinligini ko’rsatib, u A orqali urinma ostini va Ye bilan uning orttirmasini belgilaydi, egri chiziq tenglamasidan foydalanib, taqribiy tenglik tuzadi va yuqoridagi kabi amallarni bajaradi, natijada A ni aniqlash tengligini hosil qiladi.
Mazkur ikki masalani hal etishda boshqa olimlar Ferma qoidalarini takomillashtirdilar yoki ularning qo’llanish sohalarini kengaytirdilar. Masalan, I. B a r r o u o’zining «Optika va geometriya bo’yicha leksiyalar» asarida urinmalar o’tkazish usulini takomillashtirib, kichikligi yuqori tartibli bo’lgan hadlardan voz kechish prinsipini bayon etadi. R. Dekart esa egri chiziqlarga urinmalar o’tkazishning umumiy usulini yaratdi. U urinmani egri chiziqka o’tkazilgan va ikki kesishish nuqtasi birlashib ketgan kesuvchi sifatida qaraydi. Dekart kesishish nuqtalarini topishni algebraik tenglamalarni yechishga keltirganligi tufayli, algebraik tenglamaning ildizlari qaysi shartlarda birlashishini tekshirish yetarli edi. Shunday qilib, xar qanday algebraik chiziqlarga urinmalar o’tkazish mumkin, lekin transsendent (lotincha transsendens — chegaradan chiquvchi ma’nosini beradi) chiziqlarga algebraik usullarni qo’llash mumkin emas edi. Bunday hollarda urinma va tezliklarni topish uchun kinematik mulohazalardan foydalanilgan, ya’ni agar nuqta harakati ikkita harakatga ajralsa, u xolda bu tuzilgan harakatlardagi uning oniy tezliklarini topish yetarli, so’ngra ularni parallelogramm qoidasiga ko’ra qo’shish mumkin. Bunda harakat ilgarilanma va aylanma harakatlarga ajraladi. Bu g’oyani rivojlantirishda fransuz matematigi Jil Personi Roberval (1602-1675) va italyan fizigi va matematigi Evanjelista Torrichelli (1608-1647) ilmiy ishlar olib bordilar.
Barrouning yuqorida eslab o’tilgan kitobining o’ninchi va o’n birinchi leksiyalarida geometrik shaklda birinchi marta differensial va integral hisobning ikkita asosiy masalasi egri chiziqqa urinma o’tkazish va egri chiziq kvadraturasi bir-biriga bevosita qarama-qarshi masala sifatida qo’yilgan. Buni hozirgi belgilashlarda quyidagicha bayon etish mumkin:.
agar bo’lsa, u holda ;
agar , bo’lsa, u holda deb faraz qilib, ni nazarda tutiladi.
XVII asr mobaynida «cheksiz kichiklar analiza» sohasida eng ko’p natijalar integral hisob bo’yicha erishildi, ya’ni kvadraturalar, kubaturalar yoylarni to’g’rilash, sirtlarning yuzlarini hisoblash va og’irlik markazlarini aniqlashga doir ko’p aniq natijalar hamda ular orasidagi bog’lanish ham topildi. K,ator sodda integrallar ko’pincha geometrik usulda, ba’zan arifmetik usulda (Ferma, Vallis, Paskal) hisoblab chiqildi; bir turdagi integrallarni boshqa turdagi integrallarga almashtiruvchi turli-tuman munosabatlar topildi (Ferma, Paskal, Barrou). Differensial hisob bo’yicha esa yuqoridagi ikkita masala tadqiq qilingan bo’lsada, masalalarning asosida yotuvchi asosiy tushunchalarni ajratib olish imkoniyati vujudga kelmagan edi. Yangi hisobga zamin tayyorlangan bo’lsada, uning asosiy tushunchalarini umumiy ko’rinishda aniqlash va ularning bir-biriga aloqasini o’rnatish zarur edi. Shundan so’ng simvolika kiritib, hisoblash uchun algoritmni yaratish kerak edi. Bu muammolarni bir-biridan bexabar ravishda ingliz matematigi va fizigi I s a a k N yu t o n va nemis matematigi va faylasufi