Differensial va integral hisobning yaratilish tarixi

V i l g ye l m G o t f r i d L ye y b n i s har biri o’z yo’li bilan hal etdilar. Nyuton mexanika masalalarini yechishda o’zgarmas kuch harakatlanayotgan nuqtaga o’zgarmas tezlanish berishini topdi, Bundan esa harakatlanayotgan nuqtaga ta’sir etuvchi kuch va tezlanishning proporsional bog’lanishda ekanligini aniqladi. Shuning uchun berilgan ta’sir etuvchi kuchlar orqali tezlanishni topish mumkin, so’ngra tezlanishdan tezlikni hamda nuqtaning xar bir vaqt momentidagi holatini topish imkoniyati vujudga keladi
Tezlik, nuqta koordinatasi - o’zgaruvchi miqdorlar bo’lganligini hisobga olib, Nyuton bu masalani umumlashtirdi. Shuning uchun u o’zining «Flyuksiyalar va cheksiz qatorlar usuli (bu asar 1671 yilda yozilgan bo’lsa ham uning vafotidan keyin 1736 yilda nashr qilingan) asarida vaqt o’tishi bilan o’zgaruvchi miqdorlarni flyuentalar (ya’ni-«oquvchi», «o’zgaradigan») deb ataydi va lotin alifbosining oxirgi harflari i, , lar bilan belgiladi. Flyuentaning har bir vaqt momentida oniy tezligini esa flyuksiya deb atadi va i, , kabi belgiladi, bunda flyuksiya flyuentaning vaqt bo’yicha hosilasidir.
Nyuton dastlab quyidagi muammoni yechishga harakat qiladi: flyuentalar orasidagi berilgan munosabatdan ularning flyuksiyalari orasidagi munosabati keltirib chiqarilsin. U bu masalani faqat algebraik tenglamalarga nisbatan yechdi. Bunda u chegarasiz kichik miqdorni kiritadi (bu miqdor nol bo’lmasdan, balki vaqtning «aktual» cheksiz kichik orttirmasidir). O’sha zamonda va keyinchalik ham ancha vaqtgacha cheksiz yoki chegarasiz kichik miqdor deganda ko’pincha oshkor ravishda, aytmasdan turib, nolga teng bo’lmagan va ayni vaqtda xar qanday chekli miqdordan (absolyut) kichik bo’lgan statik, ya’ni o’zgarmaydigan miqdor tushunilar edi. «Aktual» cheksiz kichik miqdor haqidagi bu tushuncha son va fazo haqidagi konsepsiyamizga zid edi va xaqiqatga to’g’ri kelmas edi. Endilikda unga «potensial» cheksiz kichik tushunchasi, ya’ni o’zining o’zgarish jarayonidagina istalgan chekli miqdordan (absolyut) kichik bo’la oladigan o’zgaruvchi miqdor qarama-qarshi qo’yiladi.
Keyinchalik u ikkinchi va yuqori tartibli flyuksiyalar tushunchalarini kiritdi. Nyuton flyuksiyalar hisobini tatbiq etib, miqdorlarning eng katta va eng kichik qiymatlarini aniqlashda to’xtash prinsipidan foydalanadi: «Arap biror miqdor yuz berishi mumkin bo’lgan barcha miqdorlar ichida eng kattasi yoki eng kichigi bo’lsa, bu momentda u na oldinga va na orqaga oqadi». Bundan u flyuksiyani topgach, uni nolga tenglashtirish kerak degan qoidani keltirib chiqaradi.
Nyuton birinchi asosiy muammoga teskari masalani ham qaraydi: tarkibida flyuksiyalar bo’lgan tenglama bo’yicha flyuentalar orasidagi bog’lanish topilsin. Bu masala oddiy differensial tenglamani integrallash masalasidan iborat bo’lib, flyuentani uning flyuksiyasi bo’yicha topish, boshqacha aytganda, boshlang’ich funksiya topishga qaraganda umumiyroq va qiyindir. Umumiy masalani Nyuton cheksiz qatorlar yordamida hal qiladi. Boshlang’ich funksiyani topish masalasini u geometriya tilida ifodalab - egri chiziq kvadraturasi sifatida qaraydi. Bunda quyidagi muhim teoremaga tayaniladi: o’zgaruvchi yuzdan abssissa bo’yicha olingan hosila, ordinata bo’ladi, demak, yuzning o’zi ordinata uchun boshlang’ich funksiya bo’lib xizmat qiladi.
1686-1687 yillarda bosilib chiqqan Nyutonning «Natural falsafaning matematik negizlari»da mexaniqa, osmon mexanikasiga asos solingan bo’lsada, «birinchi va oxirgi nisbatlar» bo’limida ikki miqdorning limit nisbatlari o’rganiladi. Bunda «vujudga kelayotgan», «yo’qolib borayotgan» (cheksiz kichik miqdorlar) nisbatlari ko’rib o’tiladi. Nyuton fikricha, o’zgaruvchi miqdor o’zining limitiga erishib, bu limit miqdor uchun oxirgi («ilk») qiymat bo’ladi. Nyutonning limitlar nazariyasi geometrik mazmundagi o’n bir lemmadan iborat bo’lib, ularda u «aktual» cheksiz kichik tushunchasi o’rniga «potensial» cheksiz kichik miqdorlar, ular yig’indilari va nisbatlarning limitlari tushunchalarini kiritdi.
Leybnis ham Nyuton bilan bir vaqtda bu masalalar bilan shug’ullandi. Uning bu soha bo’yicha muhim xizmatlaridan biri nomlar va belgilashlar majmuasini ishlab chiqqanligidir, chunki zarur simvolikaning yo’qligi fan rivojiga to’siq bo’ladi. Leybnisning differensial va integral hisobidagi belgilashlari shunday o’ylab topilgan va qulayki, ishning mohiyatiga shunday mos kelar ediki, hozirda ham ular muhim o’zgarishlarsiz keng qo’llanilmokda.
Leybnisning cheksiz kichik miqdorlar hisobiga bag’ishlangan ilk maqolasi 1684 yilda «Na kasr, na irrasional miqdorlar to’sqinlik qila oladigan eng katta va eng kichik qiymatlar hamda urinmalarning yangi usuli va uning uchun o’ziga xos hisob» nomi bilan bosmadan chiqdi. Bu maqolada birinchi marta differensial (lotincha differentia — ayirma) so’zi qo’llaniladi. Bu tushuncha geometrik jihatdan aniqlanib (differensialning geometrik ma’nosi), o’zgarmas miqdorni, yig’indini, ayirmani, ko’paytmani, darajani, ildizni differensiallashga oid bo’lgan «hisoblash qoidalari»ni keltiradi. Shunday qilib, Nyuton tezlikni ilk tushuncha deb qaragan bo’lsa, Leybnis uchun boshlang’ich tushuncha bu yerda urinma tushunchasi bo’lib chiqadi.
Leybnis differensiallash formulalarini topishda differensiallarni cheksiz kichik deb hisoblasada, uni izohlamadi, lekin shunday shart asosida

tenglikdan

munosabatni keltirib chiqardi. Mana shunday algoritmni urinmalar o’tkazishga, maksimum va minimumlarni topishga, funksiyaning botiqlik va qavariqligini tekshirishga, egrilikni aniqlashga va h. k. larga tatbiq etdi. Leybnis hisobi bo’yicha oniy tezlik formula bilan aniqlanadi. Urinmalarni o’tkazishda, tezliklarni hisoblashda ikkita differensial nisbati paydo bo’ldi, u esa cheksiz kichik emas edi, buni berilgan funksiyadan hosil qilingan yangi funksiya bo’lgani uchun hosila deyiladi, yoki f'(x) deb belgilandi.
Integral hisobga oid 1686 yilda nashr qilingan Leybnisning «O glubokoy geometrii i analize nedelimыx, a takje beskonechnыx» asarida birinchi marta integral belgisi uchraydi (kichik harfi shaklida). U integralni egri chiziqli figuraning yuzi asosi dx bo’lgan cheksiz ingichka to’rtburchaklar yuzlari yig’indisi sifatida qaraydi. Har bir bu tik egri to’rtburchaklar yuzi f(x)dx bo’lgani uchun butun yuza bunday ifodalarning cheksiztasi yig’indisiga teng. Bu cheksiz kichiklarning cheksiz yig’indisini Leybnis integral, (lotincha – integer- butun so’zidan olingan), deb atadi va

belgilash kiritdi ( — ishora lotincha summa so’zi birinchi harfining boshqacha yozilishidan iborat).
Shunday, qilib, integral hisobda Leybnis uchun asosiy tushuncha rolini «aktual» cheksiz kichik bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklar ydx ning yig’indisi o’ynaydi, Nyutonda esa asos boshlang’ich funksiyadir.
F
ransuz matematigi J a n L yer on D al a m b ye r (1717-1783) yangi hisobni asoslash uchun birinchilardan bo’lib harakat qildi va bunda Nyutonning birinchi va oxirgi nisbatlar usuliga tayandi, uni limitlar usuli shaklida rivojlantirdi. Differensial hisobni rasionallashtirib, lekin uni oxirigacha yetkaza olmadn.
Dalamber funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatining limiti tushunchasini tezlik asosida bayon etishga qarshi chiqdi, chunki tezlikning o’zi ham tekismas harakatda xuddi shunday limit bilan ifodalanadi. U limit tushunchasini oydinlashtirishga harakat kildi. Dalamber fikricha, «limit hyech qachon u limiti bo’lib hisoblangan miqdor bilan ustma-ust tushmaydi yoki unga teng bo’lmaydi». Bu bilan u o’zgaruvchi miqdorning limitga monoton intilishini ko’zda tutgan edi. Dalamberning limit usuli ikkita miqdor uchinchisi uchun limit bo’lsa, ular teng, ko’paytmaning limiti limitlar ko’paytmasiga teng bo’lishiga tayanadi, lekin bunday g’oyalar u va uning maslakdoshlari tomonidan amalga oshirilmay qoldi. Bu fikrlar keyinchalik matematik analiz islohi uchun asos bo’lib xizmat kildi.

Leonard Eyler 1770yilda yozilgan «Integral hisob» asarida (III tom) differensial hisobning asosiy tushunchasi hosila ekanligini aytadi, ya’ni funksiya yo’qolib boruvchi kichik orttirmasining argument yo’qolib boruvchi kichik orttirmasiga nisbati

deb fikr yuritadi. Ko’p mulohazalarda Eyler cheksiz kichik, miqdorlarni nolga teng deb qaraydi. Shu bilan bir paytda, ikkita «nol»ning nisbati, ya’ni funksiya cheksiz kichik orttirmasining argument mos orttirmasiga nisbati aniqmas bo’lmaydi, deydi va ularni turli simvollar bilan belgilashni taklif etadi, chunki ular turlicha nisbatlarga ega bo’lishi mumkin. U har bir mulohazani asoslash zarur deb hisobamaydi, limitlar nazariyasini muhokama etmaydi va uni asoslamaydi, lekin cheksiz kichiklar tartibini hisobga oladi. Bu usul-qat’iy isbotlashlar mavjud bo’lmagan paytda amaliy qo’llash va xatoga yo’l qo’ymaslik hisoblanadi.
Eyler integral hisobda ba’zi funksiyalarni integrallash usullarini topdi: bular kasr-rasional funksiyalarni oddiy kasrlarga ajratish usuli; ifodani o’z ichiga oluvchi integralni ayrim o’rniga qo’yishlar usuli bilan yechish, binomial differensalni integrallash umumiy usullari.
Eylerning ishlarini fransuz matematigi Jozef Lui Lagranj (1736-1813) davom ettirdi. U matematik analizning yangi bo’limi-variasion hisobni rivojlantirishda muhim natijalarga erishdi.

Yangi hisobni yaratish bo’yicha ma’lum yutuqlarga erishilgan hamda uning ko’plab amaliy masalalar yechishdagi tadbiqlari topilgan bo’lsada, uning asosiy tushunchalari-differensial va integral hanuzgacha aniqmas bo’lib qolayotgan edi. Shuningdek, agar differensial cheksiz kichik va noldan farqli bo’lsa, ikkita differensial ko’paytmasini tashlab yuborish mumkinmi? Cheksiz kichiklarning sondagi yig’indisi nimadan iborat? Agar ular nolga teng bo’lsa, yig’indi nolga teng; agar ular noldan farqli bo’lsa, yig’indi cheksiz kichikga teng bo’ladi. Umuman, cheksiz kichikning o’zi nima? Bu kabi savollar javobsiz edi.
Bu savollarga ijobiy javobni fransuz matematigi Ogyusten Lui Koshi (1789-1857) topdi.

U asos qilib cheksiz kichik differensialni emas, balki ikkita differensial nisbati ni, ya’ni funksiyaning hosilasini tanladi. Hosilaga u geometrik nuqtai nazaridan qaradi. Xuddi shunday, integralni ham aniqladi. U cheksiz kichik tushunchasini limiti nolga teng miqdor deb tushundi. Koshi bu ilmiy ishlarni «Analiz kursi» (1821), «Cheksiz» kichiklarni hisoblash bo’yicha ma’urazalar rezyumesi» (1823) hamda «Analizning geometriyaga tatbiqlari bo’yicha ma’ruzalar» (1826-1928) kabi asarlarida bayon etgan.
Nemis matematigi Karl Teodor Vilgelm Veyershtrass (1815-1897) matematik analizni mantiqiy asoslashda o’zi yaratgan xaqiqiy sonlar nazariyasiga asoslandi. Shuningdek, u limit nuqtalar haqidagi ta’limotni rivojlantirdi.

Koshi va Veyershtrass ishlaridan so’ng matematikada differensial tushunchasi o’z joyini topdi. Agar funksiya hosilaga ega bo’lsa, uning orttirmasini shaklda yozish mumkin funksiya differensiali deyiladi. Leybnis davridagi kabi o’rniga deb yozib, bundan esa ko’rinishdagi tenglik topildi.
Hozirgi paytda differensial va integral hisob matematikaning eng muhim usullaridan biri bo’lib, matematikaning turli sohalarini rivojlantirish uchun asos bo’lib xizmat qilmoqda.


Takrorlash uchun savollar:
1.Differensial va integral hisobning dastlabki kurtaklari qanday paydo bo’lgan?
2. Nyuton differensial tushunchasini va uni rivojlantirishda nima ishlar qilgan?
3.Leybnisning bu sohadagi yutuqlari nimalardan iborat?
4.Differensial va integral hisobning asoslarini ishlab chiqishga hissa qo’shgan olimlar va ularning ishlari haqida gapirib bering.