Differensial tenglamalarni, unga aloqador barcha fanlarni nafaqat O’zbekiston, balki butun dunyo bor salohiyatini ishga solib o’rganadi

2.3. Hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi

Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalaridan biri Koshi masalasi deb yuritiladi. Biz ko’rgan

(2.1) koʻrinishdagi tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qoʻyiladi.
Koshi masalasi. (2.1) tenglamaning
(2.20)
shartni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi yoki boshlangʻich masala deb yuritiladi.
Bunda va berilgan sonlar boʻlib funksiya aniqlangan sohaga tegishli boʻladi. (4) tenglamaning yechimi boʻlgan yoki oshkormas koʻrinishda funksiyani mos egri chizigʻi (grafigi) integral chiziq deb ataladi. Koshi masalasi, geometrik nuqtaiy-nazardan qaraganda barcha integral chiziqlar ichidan berilgan nuqtadan oʻtuvchi integral chiziqni topish masalasidir.
10-misol. Differensial tenglamalarning berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yechimini toping.
a) ; b)
c) (bunda - ixtiyoriy sonlar)
Yechish. a) Berilgan tenglamani ko’rinishda yozib, undan o’zgaruvchilari ajralgan

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallaymiz:
, , .
Endi boshlang’ich shartdan foydalanib, ning qiymatini topamiz:
; ; ;
Bundan , ya’ni ko’rinishdagi xususiy yechimlarga ega bo’lamiz.
Javob: .
b) tenglamani o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga olib kelamiz:
.
Bundan quyidagilami hosil qilamiz:
; ;
Chap tarafdagi integralni bo’laklab integrallash usulida topamiz:

Bundan umumiy integrallarga ega bo’lamiz. ning qiymatini aniqlash uchun boshlang’ich shartdan foydalanamiz.

Natijada xususiy integralga ega bo’lamiz.
Javob:
c) tenglamani o’zgaruvchilari ajralgan tenglarnaga olib kelamiz:

Bundan kelib chiqadi va biz umumiy integralga va

umumiy yechimga ega bo’lamiz.
ning qiymatini aniqlash uchun boshlang’ich shartdan foydalanamiz.
.
Natijada xususiy yechimga ega bo’lamiz.
Javob: .