Differensial tenglamalarni, unga aloqador barcha fanlarni nafaqat O’zbekiston, balki butun dunyo bor salohiyatini ishga solib o’rganadi

1.3. Birinchi tartibli differensial tenglamalarga doir umumiy tushunchalar

1-ta’rif. Ushbu
(1.1)
tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
2-ta’rif. Ushbu
(1.2)
koʻrinishdagi tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
3-ta’rif. Bitta oʻzgarmas songa bogʻliq
(1.3)
tenglamaning yechimlari oilasini ifodalovchi funksiya tenglamaning umumiy yechimi deyiladi yoki
4-ta’rif. Agar

munosabatlardan parametrni yoʻqotish mumkin boʻlib, natijada (1.2) tenglama hosil boʻlsa, u holda (1.3) funksiya (1.2) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
5-ta’rif. Umumiy (1.3) yechimdan parametrni aniq sonli qiymatlari uchun hosil boʻlgan yechimi xususiy yechim deb ataladi.
Yuqorida keltirilgan 1 masaladagi nuqtalardan oʻtuvchi yechimlarni yagonaligi muhim ahamiyatga ega, shuning uchun berilgan nuqtadan bitta yechim oʻtsa shu nuqtada yagonalik oʻrinli deb yuritiladi.
6-ta’rif. Yagonalik oʻrinli boʻlmagan yechim maxsus yechim deyiladi.
3-misol. Tenglamani yeching

Bu yerda deb olib yoki tenglikka ega boʻlamiz. Bundan yoki umumiy yechimga ega boʻlamiz. Bundan tashqari ham tenglamaning yechimi, bu maxsus yechim boʻladi. ni, yaʼni oʻqini ixtiyoriy nuqtasidan

yarim parabolalar oʻtadi.

II BOB. HOSILAGA NISBATAN YECHILGAN ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

2.1. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning yechimi
Tasavvur qilamiz,
(2.1)
tenglamining o’ng tomoni qandaydir to'plam osti moddiy tekisligida belgilangan. intervalida aniqlangan funksiyani biz (2.1) tenglamining shu intevalidagi yechimi deb hisoblaymiz ( yechimi , , , , , , kabi intevallarda ham aniqlash mumkin),
agar :

1. 
   intervalidagi ning barcha qiymatlari uchun hosilasi mavjud.
   

(Bundan yechimi butun aniqlanish maydoni doirasida uzilmas funksiya
ekanligi kelib chiqadi ).

2. 
   funksiyasi (2.1) tenglamani intevalidagi ning barcha qiymatlari uchun haqiqiy bo’lgan ayniyatga aylantiradi:
   

(2.2)
Bu intevalidagi ning har qanday qiymatida nuqtasi to'plamiga tegishliligini va .
1-misol.

funksiyasi

tenglamaning intervalidagi yechimidir, chunki u ushbu intevalda belgilanib differensiallanadi va uni yuqoridagi tenglamaga qo'yib ning barcha
qiymatlari uchun xos bo'lgan ayniyat hosil qilamiz:

2-misol.

funksiya

tenglamanning

intevalidagi yechimidir.
3-misol.

funksiya

tenglamining intevalidagi yechimidir.
Ba'zida (2.1) tenglama yechimini (2.2) ayniyatga aylantiruvchi funksiyasini, ya'ni (2.2) tenglama yechimini ushbu tenglama integrali deb ataydilar.