Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari” mavzusida yozgan kurs ishi

1.2. Sonli differentsiallash. Umumiy mulohazalar.
Ko`p amaliy masalalarda funksiya hosilalarini ayrim nuqtalarda taqribiy hisoblashga to`g’ri keladi. Bu masala sonli differensiallash masalasi deyiladi.Funksiyaning analitik ko`rinishi noma`lum bo`lib uning ayrim nuqtalaridagi qiymatlari ma`lum bo`lsa, masalan, tajribadan topilgan bo`lsa, u holda uning hosilasi sonli differensiallash yo`li bilan topiladi. Umuman aytganda, funksiyani sonli differensiallash masalasi doimo bir qiymatli ravishda yechilavermaydi.
Masalan, funktsiyaning nuqtadagi hosilasini topish uchun ni olib,

yoki,
(1.2.2)
yoki,


(1.2.3)
kabi olishimiz mumkin. Ko`pincha o`ng hosila, chap hosila va markaziy hosila deyiladi.
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Agar tenglamada noma`lum funksiya hosila yoki differensial ostida qatnashsa, bunday tenglama differensial tenglama deyiladi.Agar differensial tenglamada noma`lum funksiya faqat bir o`zgaruvchiga bog’liq bo`lsa, bunday tenglama oddiy differensial tenglama deyiladi. Masalan:

Agar differensial tenglamadagi noma`lum funksiya ikki yoki undan ortiq o`zgaruvchilarga bog’liq bo`lsa, bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Masalan:

Differensial tenglamaning tartibi deb, shu tenglamada qatnashuvchi hosilaning (differensialning) eng yuqori tartibiga aytiladi. Masalan:

birinchi tartibli tenglamalar,

esa 4-tartibli differensial tenglamalardir.Mavzularda faqat oddiy differensial tenglamalarni ko`rib chiqamiz. n –tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy ko`rinishi quyidagicha:

bu yerda x – erkli o`zgaruvchi; y – noma`lum funksiya, - noma`lum funksiyaning hosilalari.
ni ko`p hollarda quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:
<sub>(1.2.5)</sub>
ning yechimi (yoki integrali) deb uni qanoatlantiruvchi shunday funksiyaga aytiladiki, ni ga qo`yganda u ayniyatga aylanadi.Oddiy differensial tenglama yechimining grafigi uning integral egri chizig’i deyiladi.
n-tartibli differensial tenglamaning yechimida n ta erkli o`zgarmas son qatnashadi. Bu o`zgarmas sonlarni o`z ichiga olgan yechim umumiy yechim deyiladi. Umumiy yechimning grafik ko`rinishi integral egri chiziqlar dastasini ifodalaydi.Umumiy yechimda qatnashuvchi erkli o`zgarmaslarning aniq son qiymatlari ma`lum bo`lsa umumiy yechimdan xususiy yechimni ajratib olish mumkin.
Umumiy yechimga kiruvchi erkli o`zgarmaslar masalaning boshlang’ich shartlaridan aniqlanadi. Bunda masala quyidagicha qo`yiladi: differensial
tenglamaning shunday yechimi ni topish kerakki, bu yechim erkli o`zgaruvchi ning berilgan qiymati da quyidagi qo`shimcha shartlarni qanoatlantirsin:
da

shartlar boshlang’ich shartlar deyiladi, - sonlar esa yechimning boshlang’ich qiymatlari deyiladi. Boshlang’ich shartlar yordamida umumiy yechimdan xususiy yechimni ajratib olinadi.