Differensial tenglamalar

II-BOB. Matematik fizika tenglamalari uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechish.

1§.Dirixle masalasining Grin funksiyasi .
1. Dirixle masalasininmg Grin funksiyasi .

Laplas tenglamasi uchun chegarasi S sirtdan iborat bo’lgan biror D sohada Dirixle masalasininmg Grin funksiyasi deb, ikkita x , ξ € D U S nuqtalarning funksiyasi bo’lgan va quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi G(x ,ξ ) funksiyaga aytiladi :

1. 
   G(x ,ξ ) ushbu ko’rinishga ega
   

G(x ,ξ ) = E(x ,ξ )+g (x ,ξ ) , (29)

bu yerda E(x ,ξ ) ----- Laplas tenglamasinig fundamental yechimi , g (x ,ξ ) esa , x € D bo’yicha ham , ξ € D bo’yicha ham garmonik funksiyadir ;

2. 
   x yoki ξ nuqta D sohaning S chegarasida yotganda
   

G(x ,ξ ) =0 (30)

Bu ta’rifga asosan G(x ,ξ ) funksiya ξ nuqtadan tashqari barcha D sohada garmonik funksiyadir .

Bu ta’rifdan yana shu narsa ko’rinadiki , G funksiya g (x ,ξ ) yordamida aniqlanadi , g (x ,ξ ) esa ,o’z navbatida D da garmonik bo’lib , S da yoki qiymatlarga teng .Bu yerda g (x ,ξ ) shunday garmonik funksiyaki , u chegarada maxsus qiymatlarni qabul qiladi .Ayrim hollarda bunday funksiyani topish ancha qulay bo’ldi .Bu ma’lum bo’lgandan so’ng chegarada ixtiyoriy qiymatni qabul qiluvchi garmonik funksiyani topish mumkin bo’ldi. Agar (12) yoki (13)