Differensial tenglamalar differensial tenglama tushunchasi

DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Differensial tenglama tushunchasi

Fan va texnikaning turli sohalarida uchrab turadigan ba'zi masalalar noma’lum funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalarga keladi. Bunday tenglamalar va ularni yechish usullari oliy matematikaning muhim bo‘limlaridan biri differensial tenglamalar nazariyasida o‘rganiladi.

1. Masalalar

1). Idishda 140 l aralashma bo‘lib, uning tarkibida 14 kg. tuz bor. Bu idishga ikkita quvur ulangan. Birinchi quvurdan har daqiqada tarkibida 1 kg tuz bo‘lgan 7 l aralashma uzluksiz ravishda quyiladi, ikkinchi quvurdan esa shu tezlik bilan aralashma oqiziladi. Bir soatdan so‘ng idishdagi aralashma tarkibida qancha tuz bo‘ladi?

Vaqtni erkli o‘zgaruvchi sifatida olib, uni bilan belgilaymiz. U holda aralashmadagi tuzning miqdori shu ga bog‘liq bo‘ladi: . Ma’lumki, paytda aralashmadagi tuzning miqdori bo‘lib, vaqt oralig‘ida tuz miqdori ga o‘zgardi.
Masalaning shartiga ko‘ra vaqt oralig‘ida idishga kg tuz tushadi va idishdan
kg
tuz chiqib ketadi. Ularning farqi

bo‘ladi.
Har daqiqada idishdagi aralashma tarkibida tuz miqdori o‘zgarib turganligi sababli
(1)
bo‘ladi. Agar nolga intila borsa, (1) taqribiy tenglik qat’iy tenglikka aylana boradi. Binobarin,

bo‘ladi. Ma’lumki,

Demak,
(2)
Shunday qilib, idishdagi aralashma tarkibidagi tuz miqdorini topish noma’lum funksiya va uning hosilasi qatnashgan tenglamani yechishga keladi.
2). Havo harorati bo‘lgan muhitda haroratli jism sovutilayotgan bo‘lsin. Vaqtning vaqtidan boshlab jismning sovush qonuniyati topilsin.
harorat vaqtning funksiyasi bo‘ladi: . Nyuton qonuniga binoan haroratli jismning sovush tezligi shu ga proporsional bo‘ladi. Agar tezlik hosila ekanligini e’tiborga olsak va proporsionallik koeffitsienti deyilsa, unda Nyuton qonuniga ko‘ra
(3)
bo‘ladi.
Shunday qilib jismning sovush qonuniyati ni topish, noma’lum funksiya va uning hosilasi qatnashgan tenglamani yechishga keladi.