Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

1.3.8-teorema. intervalda va funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo’lsin:

1)

2) intervalda chekli hosilalar mavjud va ;

3) ( chekli yoki cheksiz).

U holda

bo’ladi.

Bu teorema yuqorida keltirilgan teoremaga o’xshash isbotlanadi.

Boshqa ko’rinishdagi aniqmasliklar.

Ma’lumki, bo’lgnda ifoda ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib, uni quyidagicha

yozish orqali yoki ko’rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.

Shuningdek, bo’lganda ifoda ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib, uni ham quyidagicha

o’zgartirish natijasida ko’rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.

Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida hamda ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda, ularni yoki ko’rinishdagi aniqmaslikka keltirilib, so’ng yuqoridagi teoremalar qo’llaniladi.

Ma’lumki, da funksiya va ga, funksiya esa mos ravishda va ga intilganda

darajali-ko’rsatkichli ifoda ko’rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko’rinishidagi aniqmasliklarni ochish uchun avval ni logarifmlanadi: da ifoda ko’rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.

Faraz qilaylik, da aniqmas ifodanio’zgartirib, yuqoridagi teoremalardan birini (Lopital qoidasini) qo’llanib

( chekli yoki cheksiz) bo’lishini topdik, deylik. Unda

bo’ladi.

1.3.3-eslatma.Agar va funksiyalarning va hosilalari ham va lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda

tengliklar o’rinli bo’ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo’llanish mumkin bo’ladi.

1.3.7-misol.Ushbu limitni hisoblang. Ravshanki, da ifoda ko’rinishdagi aniqmaslik. Sodda hisoblashlar yordamida topamiz:

Demak,

XULOSA

Ushbu bobda mavzuni bayon qilishda zarur bo’lgan ma’lumotlar keltirilgan. Bu bob uchta paragrafdan iborat bo’lib, birinchi paragrafda funksiya hosilasi yordamida funksiyaning monotonligini aniqlashga doir teoremalar va ularning isbotlari, ikkinchi paragrafda funksiya ekstremumini topishda uning yuqori tartibli hosilalaridan foydalanish, ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari, uchinchi paragrafda funksiya qavariq va botiqligi tushunchalari, funksiyalarni tekshirish, aniqmasliklarni ochish va Lopital qoidalari keltirilgan.