Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

2.1.1-masala.Ellips:

Ayrim hollarda (2.1.2) tenglamadan o’zgaruvchilardan birini ikkinchisi orqali ifodalash mumkin, masalan, uni orqali ifodalab, egri chiziqni (yoki uning bir qismini) oshkor shakldagi (2.1.1) tenglama bilan ifodalab bo’ladi. Chunonchi ellips berilgan holda:

uchun. Boshqa hollarda garchand ning ga bog’lanishi (2.1.2) tenglama bilan aniqlangan bo’lsa ham, shu bilan birga, ma’lum shartlar bajarilganda (2.1.2) tenglamani qanoatlantiruvchi bir qiymatli (2.1.1) funksiya mavjud bo’lib, hatto bu oshkormas funksiya uzluksiz hosilaga ega bo’lsa ham, biroq biz uning oshkor ifodasini yoza olmaymiz. Masalan, dekart yaprog’ini olganda ahvol shunday bo’ladi: chizma)

2.1.1-chizma

Nihoyat, o’zgaruvchi koordinatalarning biror parametrga bog’lanishini aniqlovchi

tenglamalar ham tekislikda egri chiziqni aniqlashini bilamiz. Bunday tenglamalarni parametrik tenglamalar deyiladi; ular egri chiziqning parametrik tasvirini beradi.

Bunga avvalo ellipsning parametrik shaklda tasvirlanishi misol bo’la oladi:



parametrning dan gacha o’zgarishida katta o’qning uchidan boshlab soat strelkasiga teskari yo’nalishda ellips chizila boradi ( parametrning geometrik ma’nosi (2.1.2-chizmada ko’rinadi).

2.1.2-chizma

Ikkinchi misol sifatida sikloidani aytib o’tamiz:

U to’g’ri chiziq bo’ylab g’ildirab boruvchi doira nuqtasining trayektoriyasi bo’ladi (2.1.3-chizma). Parametr sifatida qo’zg’aluvchi radius bilan uning boshlang’ich vaziyati orasidagi burchak olingan: . ning dan gacha o’zgarishida nuqta chizmada tasvirlangan yoyni chiza boradi. ning dan + gacha o’zgarishiga mos kelgan butun egri chiziq shunday yoylarning son sanoqsiz to’plamidan iborat.

2.1.3-chizma

Yassi egri chiziqqa urinma

Urinma tushunchasi bir necha marta bizga uchragan edi.

tenglama bilan berilgan chiziq o’zining har bir nuqtasida, burchak koeffitsienti

formula bilan ifoda etiladigan urinmaga ega. Demak, urinma, ushbu tenglama bilan ifodalanadi:

Bunda , o’zgaruvchi koordinatalarni, esa urinish nuqtasining koordinatalarini bildiradi.

Normalning ham, ya’ni urinish nuqtasidan o’tib, urinmaga tik bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasini ham hosil qilish oson:

yoki

Urinma va normal munosabati bilan, ba’zi kesmalar, ya’ni va kesmalar va ularning o’qqa bo’lgan va proyeksiyalari ham qaraladi (2.1.4-chizma).

2.1.4-chizma

kesma urinma osti deb, esa normal osti deb ataladi. Ularni tegishlicha (subtangens) va (subnormal) orqali belgilanadi.; (2.1.4) va (2.1.5) tenglamalarda faraz qilib ushbularni chiqarish oson:

1. 
   Masalan, parabola uchun:
   

Endi bu chiziqning (2.1.2) oshkormas tenglama bilan berilish holiga o’taylik. Agar bu tenglama bizni qiziqtirgan nuqta atrofida (2.1.1) tenglamaga teng kuchli deb faraz qilinsa, u holda egri chiziq bu nuqtada albatta (2.1.4) urinmaga ega. Bizga bevosita berilmagan “oshkormas” funksiyaning hosilasini berilgan va hosilalar quyidagicha ifodalanadi:

bunda deb faraz qilinadi. (Bu shart bajarilganda egri chiziqning qaralayotgan nuqtasi atrofida (2.1.2) tenglama (2.1.1) tenglamaga teng kuchli bo’ladi.)

ning topilgan ifodasini urinma tenglamasiga qo’ysak, sodda almashtirishlardan keyin, ushbu tenglamani hosil qilamiz:

Bu tenglama va ga nisbatan to’la simmetrik bo’lgani uchun shartda bilan ning rollari almashtirilsa, urinma uchun xuddi yana (2.1.7) tenglamaning o’zi kelib chiqadi. Qaralayotgan holda faqat ikkala hosilalar birdaniga nolga aylansa, (2.1.7) tenglik ayniyatga aylanib, aniq to’g’ri chiziq tenglamasi bo’lmaydi. Bunday holda nuqtani egri chiziqning maxsus nuqtasi deyiladi; maxsus nuqtada egri chiziq aslida aniq urinmaga ega bo’lmasligi mumkin.