|
2.1.2-misol.1).Parabola (2.1.5-chizma)
2.1.5-chizma
Bu tenglikni ni ning funksiyasi deb hisoblab, differensiallaymiz.: . Shunday qilib: parabolaning urinma osti o’zgarmas miqdordir.
Bundan parabolaga normal o’tkazish uchun sodda usul hosil bo’ladi.
Aytilganidek, bu holda urinma osti juda sodda ifodalanadi-parabola tenglamasini hozirgina hosil qilingan tenglikka hadma-had bo’lsak, darhol topamiz:
yoki
Ellips: (2.1.6-chizma)
2.1.6-chizma
(2.1.7) formulaga asosan, urinma tenglamasi:
Ellips tenglamasini e’tiborga olib, oxirgi tenglamani soddaroq ko’rinishda yozish mumkin:
Bu yerda faraz etib, ni topamiz. Demak, urinmaning o’q bilan kesishgan nuqtasi va ga bog’liq emas. Turli qiymatlarga javob beruvchi ellipslarning umumiy absissaga ega bo’lgan nuqtalaridagi hamma urinmalari o’qdagi bitta nuqtadan o’tadi; aylana hosil bo’lib, uning urinmasi sodda yasalgani uchun darhol aniqlanadi, bundan esa ellipsga urinma yasash usuli kelib chiqadi; yasash usuli 2.1.6-chizmada ravshan ko’rsatilgan.
4) bilan ifodalangan dekart yaprog’I uchun tenglamaning chap tomonidan olingan ikkala xususiy hosila va 3( koordinata boshida bir vaqtda nolga aylanadi, 1-chizmadan ko’rinib turibdiki, bu maxsus nuqtada, haqiqatan ham, aniq urinma yo’q.
Nihoyat, (2.1.3) parametrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziqni qaraylik. Tanlab olingan nuqtada = hosila noldan farqli, masalan, noldan katta bo’lsa, u shu nuqta atrofida ham musbat bo’ladi; demak, funksiya monoton o’sadi, bu holda ham ning o’suvchi funksiyasi bo’ladi: , bu funksiyaning hosilasi . Endi o’rniga ning bu funksiyasini tenglamaga qo’ysak, egri chiziqning qandaydir bo’lagida ning funsiyasi sifatida aniqlanadi:
bu oxirgi funksiya ham hosilaga egadir. Shunday qilib, egri chiziqning olingan nuqtaga yondoshuvchi kesmasi (bo’lagi) oshkor tenglama bilan ifodalanishi mumkin: bu holda egri chiziq shu nuqtada urinmaga ega bo’ladi.
Urinmaning burchak koeffisienti quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Bu ifodani urinmaning (2.1.4) tenglamasiga qo’yib, uni proporsiya shakliga keltirish oson:
Ko’pincha ikkala maxrajni ga ko’paytirib, urinma tenglamasini quyidagicha yoziladi:
Agar tanlangan nuqtada hosila noldan farqli bo’lsa, bilan ning rollarini almashtirib, urinmaning yana o’sha tenglamasiga kelar edik. Bizning muhokamalarimizni faqat ikkala hosila va birdaniga nolga aylangandagina qo’llab bo’lmaydi. Bunday nuqta egri chiziqning maxsus nuqtasi deyiladi: unda urinmaning mavjud bo’lmasligi ham mumkin. Bu holda (2.1.9) yoki (2.1.10) tenglamalar o’z ma’nosini yo’qotadi: chunki ikkala maxraj ham nolga aylanadi.
5)Misol tariqasida sikloidaga urinma o’tkazish masalasini qaraylik: 3-chizma). Bu holda:
shu sababli, maxsus nuqtalar qiymatlarga javob beruvchi nuqtalardan iborat. Maxsus nuqtalardan boshqa hamma nuqtalarda (2.1.8) formula bo’yicha:
shuning uchun deb qabul qilish mumkin.
Biz ekanini esga olaylik (2.13-chizma), demak
Agar ni nuqtada o’q bilan kesishguncha davom ettirsak, u holda
Demak sikloidaning nuqtasi tegishli vaziyatda dumalovchi doiraning eng yuqori nuqtasi bilan tutashtiruvchi to’g’ri chiziq urinmaning o’zginasi bo’ladi. Bundan to’g’ri chiziqning normal bo’lishi ko’rinadi.
Kelgusida normalning o’q bilan kesishgan nuqtasigacha bo’lgan kesmasi bizga kerak bo’ladi, uni to’g’ri burchakli uchburchakdan topish oson:
Bu gal maxsus nuqtalarda urinmalar mavjud, ular o’qqa paralleldir; biroq egri chiziqning urinmaga nisbatan joylanishi odatdagicha emas; bu nuqtalar o’tkirlanish (qaytish) nuqtalaridir.
Urinmaning musbat yo’nalishi
Hozirgacha nuqtada chiziqqa o’tkazilgan urinmaning vaziyatini, uning burchak koeffitsienti bilan aniqlagan edik va urinmaning o’zidagi ikkita qarama-qarshi yo’nalishga e’tibor bermagan edik: ikkala yo’nalish uchun ham bir xil edi. Biroq ba’zi tekshirishlarda bu yo’nalishlardan birini tayinlab qo’yish zarurati tug’iladi. (3) parametrik tenglama bilan berilgan egri chiziqni tasavvur etib, uning “oddiy” ya’ni maxsus bo’lmagan nuqtasini qaraymiz. Bu nuqtada
hosilalar mavjud bo’lib, u
munosabatni qanoatlantiradi, uni asosiy munosabat
ni ga bo’lib hosil qilinadi.
Faraz qilaylik, egri chiziqning oddiy nuqtasi bo’lsin (2.1.6-chizma). orqali shu egri chiziqning o’zgaruvchi nuqtasini belgilasak, nuqta ga intilganda, vatarning yoy uzunligiga nisbati birga intiladi:
Yoyni parametr deb qabul qilaylik va nuqta yoyning qiymatiga, nuqta esa qiymatga to’g’ri kelsin. va ning koordinatalari tegishlicha va , bo’lsin. Bu vaqtda = va , demak,
Bu tenglikning o’ng tomonida, bo’lganda limitga o’tsak, (2.1.11) ga binoan, talab qilingan natija hosil bo’ladi. Shunday qilib, ko’rsatilgan shartlarda cheksiz kichik vatar va cheksiz kichik yoy bir-birlariga ekvivalent bo’larkan.
Chiziqda boshlang’ich nuqta va yoyni hisoblash uchun biror tayin yo’nalish tayinlangan bo’lsin, chiziqda nuqtaning vaziyatini aniqlovchi parameter sifatida yana yoyni olamiz.
Faraz qilaylik, aytilgan nuqtaga yoy to’g’ri kelsin. Agar ga musbat orttirma berilsa, yoy, nuqtadan yoylar o’sib borgan tomonda, yangi nuqtani aniqlaydi. Kesuvchini dan ga yo’naltiramiz va kesuvchining yana shu yo’nalishi bilan o’qning musbat yo’nalishi orasidagi burchakni orqali belgilaymiz. kesmani koordinata o’qlariga proyeksiyalab (2.1.7-chizma)
2.1.7-chizma
proyeksiyalar nazariyasining ma’lum teoremasiga asosan ushbuni hosil qilamiz:
bulardan:
Ammo demak:
Urinmaning musbat yo’nalishi deb, yoylar o’sib borgan tomondagi yo’nalishni ataymiz; aniqroq qilib aytganda, bu musbat yo’nalish yuqorida aytilgandek yo’nalgan nurning bo’lgandagi limit vaziyati deb ta’riflanadi. Agar urinmaning musbat yo’nalishi bilan o’qning musbat yo’nalishi orasidagi burchakni orqali belgilasak, (2.1.13) dan limitga o’tib, (2.1.12) ni e’tiborga olsak, ushbuni hosil qilamiz:
Bu formulalar burchakni gacha (k-butun) aniqlik bilan beradi va demak, chindan ham urinmaning mumkin bo’lgan ikki yo’nalishidan birini musbat yo’nalish deb tayinlaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
