Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

1.2.4-misol.Ushbu funksiyaning segmentda eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

Funksiya hosilasini nolga tenglab, ya’ni

tenglamani qarab, undan lar statsionar nuqta ekanligini topamiz. Endi berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini yozamiz:

Bu hosilaning statsionar nuqtalardagi qiymatlarini topamiz:

Bundan funksiya nuqtada minimumga, va nuqtalarda esa maksimumga erishishi kelib chiqadi.

Funksiyaning statsionar nuqtalardagi qiymatlari

bo’lib, uning segmentning chegaralaridagi qiymatlari

bo’ladi. Bu qiymatlarni taqqoslab, funksiyaning segmentdagi eng katta qiymati ga, eng kichik qiymati esa ga teng bo’lishini topamiz.

1.3 Funksiyaning qavariqligi va botiqligi

funksiya intervalda aniqlangan bo’lib, bu intervaldan olingan nuqtalar uchun bo’lsin. Ravshanki,

Endi funksiya grafigida nuqtalarni olaylik. Ma’lumki, bu nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi quyidagi

ko’rinishga ega bo’ladi. Uni

kabi yozib olib, qulaylik uchun bu tenglamaning o’ng tomonini orqali belgilaylik:

Shu belgilashga ko’ra tenglama va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni ifodalaydi. (1.3.1) munosabatdan ) tengliklar kelib chiqadi.

1.3.1-ta’rif.Agar uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya intervalda qavariq (qat’iy qavariq) funksiya deb ataladi.

Qavariq funksiya grafigi (1.3.1-chizma) A va B nuqtalardan o’tuvchi vatardan pastda joylashgan bo’ladi.

1.3.1-chizma

1.3.2-chizma

1.3.2.-ta’rif.Agar uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya intervalda botiq (qat’iy botiq) funksiya deb ataladi.

Botiq funksiya grafigi (1.3.2-chizma) A va B nuqtalardan o’tuvchi vatardan yuqorida joylashgan bo’ladi.

Agar

deb belgilasak, unda

tengliklar o’rinli bo’lib, (1.3.1) tenglik quyidagicha

ifodalanadi. Natijada (1.3.2) va (1.3.3) munosabatlar ushbu

,

(1.3.4) (1.3.5).

ko’rinishlarga keladi. Demak, funksiyaning qavariqligi (qat’iy qavariqligi) (1.3.2) tengsizlik bilan botiqligi (qat’iy botiqligi) esa (1.3.3) tengsizlik bilan ta’riflanishi mumkin.

1.3.1-eslatma.Funksiyaning qavariqligi va botiqligi ko’pincha mos ravishda qavariqligi bilan pastga yo’nalgan va qavariqligi bilan yuqoriga yo’nalgan deb ham yuritiladi.

Funksiyaning hosilasi yordamida uning qavariqligi hamda botiqligini tekshirish mumkin.

funksiya intervalda aniqlangan bo’lib, bu intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin.