Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

Бир жинсли чизикли дифференциал тенгламанинг тартибини пасайтириш
n-нчи тартибли бир жинсли чизикли дифференциал тенглама берилган булсин.
(1)
Агар бу тенгламанинг нолга тенг булмаган y₁ хусусий ечими берилган булса
алмаштириш ёрдамида (1) тенгламанинг тартибини биттага пасайтириш мумкин. Хакикатан хам, (2) дан


Бу топилган кийматларни (1) тенгламага куйиб ихчамласак
га эга буламиз.шартга асосан (1) тенгламанинг ечими яъни
шунинг учун кейинги тенгламадаги z олдидаги коэффициент нолга тенг булади.
(3)тенгламанинг хар иккиала томонини у₁ га булсак.

тенгламага эга буламиз.
Бу тенгламада алмаштиришни олиб уни
(4)
куринишга келтирамиз.
Агар (4) тенгламанинг фундаментал ечимлар системаси булса, у холда (1) тенгламанинг хусуий ечимлари
(5)
булади. Исбот этамизки бу ечимлар чизикли богланмагандирлар. яъни улар (1) тенгламанинг фундаментал ечимлар системасини ташкил этади.
Тескаринча фараз этайлик булар чизикли богланган булсинлар.У холда бирданига хаммаси нолга тенг булмаган шундай сонлари топиладиким, х –нинг курилаётган ораликдиги хамма кийматлари учун
(6)
айнияти бажарилади.
Бундан у₁ нолга тенг булмаганли сабабли (6) дан
(7)
(5) ва (7) га асосан

га эга буламиз.
Лекин лар чизикли боглик булмаганлиги сабабли , кейинги тенгликдан

келиб чикади. У холда (6) дан келиб чикади.
Бу карама-каршилик курсатадиким лар чизикли боглик эмас.
Демак улар (1) тенгламанинг фундаментал ечимлар системасини ташкил этади.
Фараз этайлик (1) тенгламанинг k та хусусий ечимлари берилган булсин. алмаштириш ёрдамида (1) тенглама (4) куринишга келади.
Лекин (4) тенгламанинг
(8)
ечимлари мавжуд булади.
Исбот этамизким, (8) ечимлар системаси узаро чизикли боглик эмас. Аксинча фараз этайлик булар чизикли боглик булсинлар. У холда хаммаси бирданига нольга тенг булмаган шундай сонларни топиш мумкинким
(9)
(9) ни хар иккала томонини интеграллаймиз

( - интеграллаш доимийлиги)
бу кейинги тенгликдан

шартга асосан лар чизикли богланмаган, шунинг учун кейинги тенгликдан

Бу карма- каршилик курсатадиким

лар чизикли богланмагандирлар
Яъни улар (4) тенгламанинг фундаментал ечимлар системасини ташкил этади.
(4) тенгламада алмаштиришни олсак тенгламанинг тартиби биттага пасаяди (1) тенгламанинг тартиби эса икки бирликка пасаяди.
Бундан шундай хулосага келамиз.
Агар бир жинсли чизикли дифференциал тенгламанинг к та чизикли боглик булмаган хусусий ечимлари берилган булса, у холда унинг тартиби к бирликка камаяди яъни (1) тенгламани интеграллаш n-k нчи тартибли тенгламани интеграллашга келтирилади.
Иккинчи тартибли бир жинсли дифференциал тенгламанинг битта
хусусий ечими берилган булсин
(10)
алмаштиришни оламиз

Буларга асосан (10) тенгламани

Бу кийматни га куйсак

га эга буламиз. Бу эса (10) тенгламанинг умумий ечимидир.

Мисол

тенгламанинг 2 та хусусий ечими берилган булса, тенгламанинг умумий ечимини топинг.
алмаштиршини оламиз.