Determinant tushunchasi va determinantlarni hisoblash

2-misol. a) va b) determinantlarini hisoblang.
a) ,
b)
Determinantlarning asosiy xossalari:
1⁰. Determinant transponirlash natijasida o‘zgarmaydi. Boshqacha aytganda, transponirlangan matritsaning determinanti berilgan matritsa determinantiga teng.
2⁰. Agar determinantning satrlaridan biri noldan iborat bo‘lsa, bunday determinant nolga teng bo‘ladi.
3⁰. Agar bir determinant ikkinchisidan uning ikkita satrining o‘rnini almashtirish orqali hosil qilingan bo‘lsa, u holda birinchi determinantning barcha elementlari teskari ishora bilan ikkinchi determinantning ham elementlari bo‘ladi, ya’ni ikkita satrining o‘rni almashishidan determinant faqat ishorasini o‘zgartiradi.
4⁰. Ikkita bir xil satrga ega bo‘lgan matritsaning determinanti nolga teng.
5⁰. Agar determinantning ixtiyoriy satri elementlari biror k songa ko‘paytirilsa, u holda determinantning o‘zi ham shu songa ko‘pay tiriladi.
6⁰. Agar biror determinantning ikkita satri proportsional bo‘lsa, bunday detetminant nolga teng.
7⁰. Agar n-tartibli determinant i-satrining barcha elementlari ikkita qo‘shiluvchining yig‘indisi ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, u holda determinant shunday ikkita determinantning yig‘indisiga teng bo‘ladiki, bu determinantlarning i-satridan boshqa satrlari berilgan determinantning satrlari bilan bir xil bo‘lib, ulardan birining i-satr elementlari elementlardan, ikkinchisining i-satridagi elementlari esa elementlardan iborat bo‘ladi, ya’ni

Agar har qanday j ( ) nomerli satr uchun shunday son topish mumkin bo‘lsaki, j-satrni ga ko‘paytirib, so‘ngra i-satrdan boshqa hamma satrlarni qo‘shib, i-satrni hosil qilsak, u holda determinantning i-satrini uning qolgan satrlarining chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
8⁰. Satrlaridan biri qolgan satrlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat determinant nolga teng.
9⁰. Agar determinantning satrlaridan biriga uning boshqa satrining mos elementlarini biror songa ko‘paytirib qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi³.
Determinant biror elementining minori deb, shu determinantdan element turgan satr va ustunni o‘chirish natijasida hosil bo‘lgan determinantga aytiladi.
Determinant elementining algebraik to‘ldiruvchisi quyidagicha aniqlanadi
.
Masalan, determinantda , , , ; , , , ;
determinantda , , , , …
Determinant xossalarini e’tiborga olib, kelgusida yo‘l satr uchun o‘rinli munosabatlarni ixtiyoriy qator uchun deb ataymiz.

Teorema. 1) Ixtiyoriy qator elemenlarini o‘z algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi determinant qiymatiga teng.
2) Ixtiyoriy qator elementlari parallel qator elementlari algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi nolga teng.

bunda .


Isbot. Soddalik uchun isbotni 3-tartibli determinantlar uchun keltiramiz (3-yo’l elementlarini tanladik).


Маsalan, , tengliklarni ham shunday tekshirish mumkin.
Agar (3) kvadrat matritsaning determinantini 1-satr elementlari bo‘yicha yoysak, u quyidagiga teng bo‘ladi:
.