Davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

7-ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, (a;b) intervalning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va sonlari uchun tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya (a;b) intervalda tekis uzluksiz deyiladi.
Masalan, f(x) = x funksiya butun sonlar o‘qida tekis yaqinlashadi. Bunda deb olish yetarli. Agar f(x) funksiya (a;b) intervalda tekis uzluksiz bo‘lsa, u holda u har bir nuqtada uzluksiz bo‘ladi. Teskari tasdiq o‘rinli bo‘lmaydi. Agar bunda (a;b) interval [a;b] kesma bilan almshtirilsa teskari tasdiq ham o‘rinli bo‘ladi.
Misol. f(x)= funksiya X=(0:1] da uzluksiz, lekin tekis uzluksiz emas.
Haqiqatan, songa mos kelgan >0 mavjud emas. Ya`ni, qanday >0 son olmaylik x`,x`` sonlar topilib, |x`-x``|< bo`lib,
|f(x`)-f(x``)| bo`ladi. nuqtalarni olaylik. |x`-x”|= . . n nomerni shunday tanlash mumkinki bo`ladi. Lekin |f(x`)-f(x``)|=|n-(n+1)|=1 bo`ladi.
Demak, f(x)= funksiya tekis uzluksiz emas.
Endi, uzluksiz funksiyalar qaysi vaqtda tekis uzluksiz bo`ladi degan savol tug`iladi, bu savolga ushbu teorema javob beradi.
11-teorema (Kantor teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u [a;b] kesmada tekis uzluksiz bo‘ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish yo`li bilan isbotlaymiz. Ya`ni [a;b] da uzluksiz bo`lgan f(x) funksiya bu kesmada tekis uzluksiz bo`lmasin. Demak, biror >0 son mavjudki, >0 sonni har qancha kichik qilib olmaylik, [a;b] segmentda shunday x` va x`` nuqtalar topiladiki, |x`-x``|< bo`lsa ham |f(x`)- f(x``)| bo`ladi.
Nolga intiluvchi ketma-ketlikni olamiz. ning har bir qiymatiga mos ikkita topiladiki, ular uchun bo`lib, bo`ladi. } , demak } chegaralangan. Undan Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan yaqinlashuvchi ( }) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin: . Geyne ta`rifiga binoan f( ) f( ). tengsizlikka asosan ekanligi kelib chiqadi. Bundan ) . Bulardan ekanligi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan tengsizliklardan ning 0 ga intilmasligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Teorema isbotlandi.