Davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

1.4 Uzluksiz funksiyalar ustida amallar

5-teorema Agar (x) va (x) funksiyalarning har biri M to'plamda berilgan bo'lib, ular a M nuqtada uzluksiz bo'lsa,
(x) (x), (x) (x) hamda (x) )
funksiyalar ham shu nuqtada uzluksiz bo'ladi.
Bu teoremaning isboti, limitga ega bo'lgan funksiyalar ustida arifmetik
amallar haqidagi ma'lumotlardan bevosita kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, M to'plamda y = f (x) = f ( , ,…, ) funksiya
berilgan bo'lib, , ,…, larning har bir T (k ) to'plamda berilgan
funksiyalar bo'lsin:
= (t) = ( , ,…, ),
= (t) = ( , ,…, ),
…………………………….,
= (t) = ( , ,…, )
Biz t = ( , ,…, ) T bo'lganda unga mos x = ( , ,…, ) M deb
qaraymiz. Bu funksiyalar yordamida
= ( ( , ,.., ), ( , ,.., ),.., ( , ,.., ))= ( , ,.., )= (t)
murakkab funksiyani tuzamiz.
6-teorema Agar (t) = ( , ,…, ) (t = 1,2,..,m) funksiyalaming har
bir = nuqtada uzluksiz bo'lib, f (x) = f ( , ,…, ) funksiya esa = nuqtaga mos
=
nuqtada uzluksiz bo'lsa, = (t)= ( , ,…, ) murakkab funksiya
= nuqtada uzluksiz bo'ladi.
= ( ) = ( = 1,2,..,m) funksiya = ( )
nuqtada uzluksiz bo'lsin.
T to'plamda = ( ) nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy
=
ketma-ketlikni olaylik. U holda uzluksizlikning Geyne ta'rifiga ko'ra

bo'ladi.
= ( ) funksiya ( ) ruqtada uzluksiz. U holda yana Geyne ta'rifiga ko'ra
( ) ( )
bo'ladi. Demak, da


Bu esa = ( ( , ,.., ), ( , ,.., ),.., ( , ,.., ))= ( , ,.., )
funksiyaning = nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi.
2.1. Uzluksiz funksiyalarning lokal xossalari. Bir tomonli uzluksizlik va uzilish nuqtalari
Biz quyida ko'p o'zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalarini keltiramiz. Bunda bir o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari to'g'risida ma'lumot-lardan to'la foydalana boramiz.
Ko'p o'zgaruvchili uzluksiz funksiyalar ham bir o'zgaruvchili uzluksiz
funksiyalarning xossalari kabi xossalarga ega.
1 . Nuqtada uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xassalari (lokal xossalari).
f (x) funksiya M (M ) to'plamda berilgan bo'lib. M nuqtada uzluksiz
bo'lsin. Bunday f (x) funksiyaning nuqtaning yetarli kichik atrofi M dagi xossalarini (lokal xossalarini) o'rganamiz.
1) Agar f (x) funksiya M nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda nuqtaning
yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo'ladi.
Funksiya uzluksizligi ta'rifiga ko'ra

bo'lib, undan funksiyani nuqtada chekli limitga ega ekanligi kelib chiqadi. Chekli limitga ega bo'lgan funksiyaning xossalaridan esa, funksiyani nuqtaning yetarli kichik atrofida chegaralanganligini topamiz.
2) Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo'lib,
bo'lsa, nuqtaning yetarli kichik atrofidagi nuqtalarda
bo'ladi.
Funksiya nuqtada uzluksizligi ta'rifiga ko'ra, > 0 olinganda ham shunday > 0 topiladiki, barcha x ( ) nuqtalar uchun

bo'ladi.
Bu yerda = ( ) > 0 (agar ( ) 0 bo'lsa, = ( )) deb olsak, fikrimiz-ning tasdig'iga ega bo'lamiz.
Demak, ( ) funksiya nuqtada uzluksiz va ( ) 0 bo'lsa, x° nuqtaning yetarli kichik atrofidagi x nuqtalarda funksiya qiymatlarining ishorasi ( ) ning ishorasi bilan bir xil bo'lar ekan:

3) Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo'lsa, nuqtaning yetarli kichik atrofidagi M , M nuqtalar uchun

tengsizlik o'rinli bo'ladi
funksiyaning nuqtada uzluksizligiga asosan, > 0 olinganda ham ga ko'ra shunday > 0 topiladiki, barcha x ( ) nuqtalar uchun
bo'ladi. Jumladan, ( ), ( ) nuqtalar uchun ham

tengsizliklar o'rinli bo'ladi. Keyingi tengsizliklardan esa
bo'lishi kelib chiqadi.
6-ta’rif. y=f(x) funksiya argumentning qiymatlarida aniqlangan bo’lsin. Agar y=f(x) funksiya uchun

munosabat bajarilsa, f(x) funksiya nuqtada chapdan ( o’ngdan ) uzluksiz deyiladi.