Davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

2.4 Monoton funksiyaning uzluksizligi. Kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiyaning tekis uzluksizligi
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda (qat`iy) monoton funksiya bo`lsa, u shu oraliqning istalgan nuqtasida uzluksiz bo`ladi yoki faqat birinchi tur uzilishga (sakrashga) ega bo`ladi.
Isbot. f(x) funksiya X oraliqda o`suvchi bo`lsin. nuqta X ning ichki nuqtasi , ya`ni nuqtaning biror ( atrofii X ga tegishli bo`lsin. f(x) funksiya o`suvchi bo`lgani uchun barcha x≤ larda f(x) ≤ f( ) ya`ni funksiya yuqoridan chegaralangan. Shuning uchun u chekli f( ­- 0) f( ) limitga ega. Xuddi shu kabi chekli f( +0) limit mavjud bo`lib, f( -0) f( ) bo`ladi.
Agar f( -0)=f( )=f( +0) bo`lsa, funksiya nuqtada uzluksiz bo`ladi. Aks holda f( -0)< f( +0) bo`lib, funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi bo`ladi.
Monoton kamayuvchi funksiya uchun ham shu kabi isbotlanadi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda monoton bo`lib, uning qiymatlari biror Y oraliqdan iborat bo`lsa, u holda funksiya X oraliqda uzluksiz bo`ladi.
Isbot. f(x) funksiya X oraliqda o`suvchi bo`lsin. Faraz qilaylik funksiya biror X nuqtada uzilishga ega bo`lsin. U holda yuqoridagi teoremaga binoan f( -0) bo`lib, (f( -0),f( +0)) {f( )} to`plamdagi sonlarning hech biri funksiyaning qiymati bo`lmaydi, ya`ni funksiya qiymatlari Y oraliqdan iborat bo`lmaydi. Teorema isbotlandi.
10-teorema (teskari funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema). Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘lib, [c;d]uning qiymatlar sohasi bo‘lsa, u holda [c;d] kesmada y= teskari funksiya
uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘ladi.
f(x) funksiya (a;b) intervalda uzluksiz bo‘lsin. U holda istalgan nuqtada son uchun shunday son topiladi, |x- |< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha uchun |f(x)- f( )|< tengsizlik bajariladi. Bunda ham ga va ham ga bog‘liq bo‘ladi: Bitta son uchun har xil nuqtalarda son turli bo‘lishi mumkin va bunda barcha da yagona sonning mavjud bo‘lishi kelib chiqmaydi. son mavjud bo‘lishining talabi f(x) funksiyaning intervalda uzluksiz bo‘lishi talabiga nisbatan kuchli talab hisoblanadi.