Dasturiyinjiniring

9. O’sish surati (populyatsiya)ning cheklanganligi t→∞t→∞ bo’lganda saqlanib qolishi uchun Maltus modelidagi  r(t)=α(t)−β(t)>0r(t)=α(t)−β(t)>0  miqdor tt ning katta qiymatlarida qanday holatda bo’lishini aniqlang.

Aholining o'sish dinamikasining dastlabki modellaridan biri ingliz iqtisodchisi va ruhoniysi T.Maltusga (1766-1834) tegishli, kim uning "Aholi qonunining tajribasi" (1798) insoniyat jamiyatida, hamma kabi tirik tabiat, shaxslarning cheksiz ko'payishining mutlaq qonuni mavjud. Shu bilan birga, Yer aholisining o'sishi geometrik progressiyada, tirikchilik vositalari esa faqat arifmetikada ko'paymoqda.

Maltus modeli matematik shaklda juda sodda ko'rinadi. Cheksiz oziq-ovqat resurslari sharoitida yashovchi mikroorganizmlar koloniyasini ko'rib chiqamiz. Ko'payish tufayli va o'lim, bu koloniyadagi tirik organizmlar soni o'zgaradi

vaqt o'tishi bilan. Keling, ushbu o'zgarish qonunini topaylik.

N (t) o'rganilayotgan populyatsiyaning t vaqtdagi kattaligi va N (t + dt) t + dt vaqtdagi o'rganilayotgan populyatsiyaning hajmi bo'lsin. Dt qiymati kichik vaqt oralig'i bo'lib, uning tanlovi modelga bog'liq. U holda N (t + dt) -N (t) = dN farq bo'ladi N (t) funktsiyasining o'sishi - populyatsiyadagi individual son - uchun

t dan t + dt gacha bo'lgan vaqt oralig'i. Aholining nisbiy o'sishi dN / dt nisbati.

Maltusning fikriga ko'ra, aholi sonining o'sish sur'ati ma'lum bir lahzada uning hajmiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir yoki

dN / dt = aN,

bu erda a - mutanosiblik koeffitsient.

Maltus modelida ma'lum bir populyatsiya uchun ushbu qiymat doimiy ravishda saqlanib turadi va u tez tug'ruqni aks ettiradi va aholi sonidagi o'lim. Eng oddiy holatda, a koeffitsienti tug'ilish va o'lim ko'rsatkichlari o'rtasidagi farq. shuning uchun a miqdori ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin.

Populyatsiya dinamikasining bu eng oddiy modeli Maltuzian yoki eksponent model deb ataladi, chunki buning echimi tenglama - bu eksponent funktsiya

N (t) = N (0) exp (at), bu erda N (0) - boshlang'ich vaqt momenti t = 0 bo'lgan populyatsiya hajmi.

Eksponent funktsiya xususiyatlariga asoslanib, Maltus modeli a> 0 populyatsiya sonining cheksiz o'sishini beradi, va <0 uchun populyatsiya asimptotik ravishda nolga intiladi, bu esa aholining o'limi. T va t + dt ikkita ixtiyoriy vaqtni ko'rib chiqing.

T vaqtidagi populyatsiya hajmi N (t) ga, va da teng bo'lsin vaqt t + dt populyatsiya hajmi N (t + dt) ga teng.

Shunday qilib, vaqt o'tishi bilan aholi sonining o'zgarishi

dt - bu qiymat

dN = N (t + dt) - N (t),

yoki

N (t + dt) = N (t) + dN.

Bu erdan

N (t + dt) = N (t) + a N (t) dt

Ushbu tenglama eksponent Maltus tenglamasining farq analogidir. Bu shuni anglatadiki, aholi sonini bilish har qanday vaqtda, har qanday vaqtda o'zgaruvchanlikni, har doim topishingiz mumkin vaqt oralig'ida aholi soni dt.

Shunday qilib, aholining dinamikasini kuzatish mumkin dt har bir intervalda populyatsiya sonini ketma-ket hisoblab, ancha uzoq vaqt T oralig'i.

Maltus modeli ekologiyada populyatsiyalarning xatti-harakatlarini cheksiz tavsiflovchi birinchilardan biridir yashash resurslari. a > 0 uchun ushbu model cheksiz o'sishni beradi aholi, a <0 uchun uning qaytarib bo'lmaydigan yo'q bo'lib ketishi va a = 0 uchun populyatsiya muvozanatda. Shunga qaramay, ushbu model

uning primitivizmi, amaliy qiziqish uyg'otadi, chunki ba'zi mikroorganizmlar populyatsiyasining ko'payishini ko'paytiradi cheklangan vaqt. Aholi soni o'zgaradi

o'simlik va hayvonot dunyosini oddiy qonun bilan ta'riflab bo'lmaydi.

Maltus, o'sish dinamikasiga bir-biriga bog'liq bo'lgan ko'plab sabablar ta'sir qiladi - xususan, har bir turning ko'payishi o'z-o'zini tartibga soladi va ushbu tur evolyutsiya jarayonida saqlanib qolishi uchun o'zgartirilgan.