Rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi

O'ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT

TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI

RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI

TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

FARG’ONA FILIALI

Ma’lumotlar tuzilmzsi va algoritmlar

FANIDAN

LABARATORIYA ISHI

Bajardi: 711-19 guruh talabasi

Mo’ydinova z

Qabul qildi: ____________________

FARG’ONA -2019

Erlang qonunlari

Amaliyot tomonidan ilgari surilgan masalalarni echishda uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning turli xil taqsimotlari bilan shug'ullanish kerak. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning tarqalish zichligi, shuningdek, taqsimot qonunlari deb ataladi. Ko'pincha, masalan, bir xil, normal, eksponent va boshqa taqsimlanish qonunlari mavjud.

Agar tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari tegishli bo'lgan oraliqda taqsimot zichligi doimiy bo'lib qolsa, ehtimollik taqsimoti bir xil deyiladi.

Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (a, b) intervalda mavjud bo'lib, f (x) funktsiyasi doimiy bo'lib qoladi deb faraz qilib, bir xil taqsimot f (x) zichligini topaylik:

Gipotezaga ko'ra, values ​​(a, b) oralig'idan tashqarida qiymatlarni qabul qilmaydi, shuning uchun x b uchun f (x) = 0 bo'ladi.

Doimiy S ni topaylik, chunki tasodifiy miqdorning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (a, b) intervalga tegishli bo'lsa, u holda munosabat

Bu erdan

Shunday qilib, bir xil taqsimotning izlangan ehtimollik zichligi

Yagona taqsimot zichligi grafigi shakl. 1.1.

1.1-rasm. Yagona qonunning tarqalish zichligi uchastkas

Funktsiya va taqsimot zichligi o'rtasidagi bog'liqlik formulasiga muvofiq kümülatif taqsimlash funktsiyasi uchun quyidagilarni yozishingiz mumkin:

Va nihoyat, integral taqsimot funktsiyasining xususiyatlarini hisobga olgan holda formulani olamiz

Tarqatish funktsiyasining grafigi shakl.

(1) va (2) formulalardan kelib chiqadiki, bir xil taqsimot ikki parametrli taqsimot qonuni hisoblanadi, chunki zichlik va taqsimlash funktsiyasi ikkita "a" va "b" parametrlari bilan aniqlanib, pastki va yuqori chegaralarini cheklaydi. tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari mintaqasi.

Bir tekis taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini va dispersiyasini aniqlaylik

(3) formuladan kelib chiqadiki, bir xil taqsimot bilan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning mumkin bo'lgan qiymatlari maydonini belgilaydigan intervalning o'rtasiga teng bo'ladi.

Quyidagi formula bo'yicha dispersiyani topamiz:

Kublarning farqini koeffitsientlarga ajratib, fraksiyalarni dispersiya uchun chiqargandan so'ng quyidagilarga erishamiz:

Bir tekis taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi quyidagicha bo'ladi:

Izoh. R (0, 1) oralig'ida bir tekis taqsimlangan uzluksiz tasodifiy miqdorni va r - uning mumkin bo'lgan qiymatlarini belgilaymiz. (0, 1) intervalga tegishli bo'lgan (s, d) oraliqdagi R qiymatini (sinov natijasida) urish ehtimoli uning uzunligiga teng:

Darhaqiqat, ko'rib chiqilayotgan bir xil taqsimotning zichligi

Shuning uchun, R tasodifiy o'zgaruvchining (c, d) oralig'iga tushish ehtimoli (2.8-darsga qarang)

2. Erlang taqsimoti

Erlang taqsimoti musbat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarni ehtimoliy tayinlash uchun ishlatiladigan ikki parametrli taqsimot qonuni bo'lib, bu ehtimollik masalalarining katta qismiga xosdir. Erlang taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi formula bo'yicha aniqlanadi

Formuladan (2.1) ko'rinib turibdiki, ehtimollik zichligi ikkita parametr k va λ qiymatlariga bog'liq. K parametri Erlang taqsimotining tartibi deb nomlanadi va u k = 0, 1,2, ... tamsayı qiymatlariga ega bo'lishi mumkin.

Erlang taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishi va dispersiyasi quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Birinchi darajali Erlang taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi uchun F (x) tarqatish funktsiyasini olamiz k = 1. (2.1) formulani funktsiya va taqsimot zichligi o'rtasidagi bog'liqlik formulasiga almashtiramiz, F (x) uchun olamiz :

Biz qismlar bo'yicha integratsiya usulidan foydalanamiz. Buning uchun biz yozuvni joriy qilamiz:

Bu erdan

Qabul qilingan belgilarga muvofiq biz quyidagilarni olamiz:

Formula (2.4) birinchi darajali Erlang taqsimotiga ega bo'lgan doimiy tasodifiy o'zgaruvchining berilgan oralig'iga tushish ehtimolini aniqlashni osonlashtiradi.

Erlang taqsimotining nol k = 0, birinchi k = 1 va ikkinchi darajali k = 2 ning λ = 2 darajadagi ehtimollik zichligi grafikalari 2.1-rasm a) da, tarqatish funktsiyasining grafikalari esa shakl. .2.2 b).

Shakl 2.1a) Erlang taqsimotining ehtimollik zichligi uchastkalari

2.1b-rasm) Erlang tarqatish funktsiyasi sxemalari

Erlang taqsimotining yuqori tartibi bilan taqsimlash funktsiyasi formulasi ancha murakkab bo'lib chiqadi va ma'ruzada ko'rib chiqilmaydi.

3. Eksponensial (eksponent) taqsimot qonuni.

Ko'rsatkichli taqsimot k = 0 uchun Erlang taqsimotining alohida holatidir.

Eksponent (eksponensial) uzluksiz tasodifiy X miqdorining zichligi bilan tavsiflanadigan ehtimollik taqsimoti deyiladi

bu erda λ doimiy ijobiy qiymat.

(3.1) ifodadan kelib chiqadiki, eksponensial taqsimot bitta parametr bilan aniqlanadi.

Eksponensial taqsimotning bu xususiyati uning ko'p sonli parametrlarga bog'liq bo'lgan taqsimotlarga nisbatan ustunligini ko'rsatadi. Odatda parametrlar noma'lum va ularning taxminlarini topish kerak (taxminiy qiymatlar) Albatta, bitta parametrni ikki yoki uchdan ko'ra baholash osonroq va hokazo. Ko'rsatkichli qonunga muvofiq taqsimlangan doimiy tasodifiy o'zgaruvchiga misol eng oddiy oqimning ketma-ket ikkita hodisasi sodir bo'lishi o'rtasida.

Ko'rsatkichli qonunning taqsimot funktsiyasini topaylik.

Ko'rsatkichli qonunning zichligi va taqsimlanish funktsiyasi grafikalari shakl. 3.1.

3.1-rasm Zichlik uchastkalari va eksponensial taqsimlash funktsiyalari

Taqsimot funktsiyasi tomonidan berilgan eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchining (a, b) intervaliga tushish ehtimolini topaylik.

Biz tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir intervalga tushish ehtimolini hisoblash uchun taniqli formuladan foydalanamiz, ya'ni:

Shuni hisobga olsak

Funktsiya qiymatlarini jadvaldan topish mumkin.

Funktsiya xizmatlarini jadvaldan topish mumkin.

Matematik kutishni doimiy tasodifiy miqdor uchun hisoblash formulasidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, eksponensial taqsimotning matematik kutilmasi parametrning o'zaro ta'siriga teng.

Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun uni hisoblash formulasidan foydalanib, dispersiyani topaylik:

Qismlarga bo'linib, biz olamiz

Shuning uchun:

Keling, standart og'ishni topaylik, buning uchun dispersiyaning kvadrat ildizini chiqaramiz:

ya'ni matematik kutish va eksponensial taqsimotning standart og'ishi bir-biriga tengdir.

Eksponensial taqsimot moliyaviy va texnik muammolarning turli xil qo'llanmalarida, masalan, ishonchlilik nazariyasida keng qo'llaniladi.

4. Chi-Square Pearson mezoni

Pearson -2 testi har bir toifaga kiradigan namunaning haqiqiy (tadqiqot tomonidan aniqlangan) natijalari soni yoki sifat xususiyatlari o'rtasidagi farqlarning ahamiyatini baholashga imkon beradigan parametrsiz usul. null gipoteza to'g'ri bo'lsa, o'rganilgan guruhlar. Oddiy qilib aytganda, usul ikki yoki undan ortiq nisbiy ko'rsatkichlar (chastotalar, ulushlar) o'rtasidagi farqlarning statistik ahamiyatini baholashga imkon beradi.

4.1. Χ2 mezonining rivojlanish tarixi

Favqulodda vaziyatlar jadvallarini tahlil qilish uchun xi-kvadrat test 1900 yilda ingliz matematikasi, statistikasi, biologi va faylasufi, matematik statistika asoschisi va biometrikaning asoschilaridan biri Karl Pirson (1857-1936) tomonidan ishlab chiqilgan va taklif qilingan.

4.2. Pearson χ2 testi nima uchun ishlatiladi?

Xi-kvadrat testi xavf omilining mavjudligiga qarab natijalar chastotasi to'g'risida ma'lumotlarni o'z ichiga olgan favqulodda vaziyatlar jadvallarini tahlil qilishda ishlatilishi mumkin. Masalan, to'rt maydonli kutilmagan holatlar jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Bunday kutilmagan holatlar jadvalini qanday to'ldirish kerak? Keling, kichik bir misolni ko'rib chiqaylik.

Chekishni arterial gipertenziya rivojlanish xavfiga ta'siri bo'yicha tadqiqotlar olib borilmoqda. Buning uchun sub'ektlarning ikkita guruhi tanlandi - birinchisiga har kuni kamida 1 quti sigaret chekadigan 70 kishi, ikkinchisiga 80 ta o'sha yoshdagi chekmaydiganlar kirgan. Birinchi guruhda 40 kishi yuqori qon bosimiga ega edi. Ikkinchisida arterial gipertenziya 32 kishida kuzatilgan. Shunga ko'ra, chekuvchilar guruhidagi 30 kishining qon bosimi normal (70 - 40 = 30), chekmaydiganlar guruhida esa 48 (80 - 32 = 48) bo'lgan.

Olingan favqulodda vaziyatlar jadvalida har bir satr ma'lum mavzular guruhiga to'g'ri keladi. Ustunlar - arterial gipertenziya yoki normal qon bosimiga chalingan odamlarning sonini ko'rsatadi.

Tadqiqotchiga qo'yilgan muammo: chekuvchi va chekmaydiganlar orasida qon bosimi bo'lgan odamlarning chastotasi o'rtasida statistik jihatdan muhim farqlar mavjudmi? Siz bu savolga Pearsonning xi-kvadrat testini hisoblash va olingan qiymatni kritik bilan taqqoslash orqali javob berishingiz mumkin.

4.3. Pearson xi-kvadrat testining shartlari va cheklovlari

1. Taqqoslanadigan ko'rsatkichlar nominal miqyosda (masalan, bemorning jinsi - erkak yoki ayol) yoki tartibda (masalan, 0 dan 3 gacha bo'lgan arterial gipertenziya darajasi) o'lchanishi kerak.

2. Ushbu usul nafaqat to'rt maydonli jadvallarni tahlil qilishga imkon beradi, chunki bu omil ham, natija ham ikkilik o'zgaruvchidir, ya'ni ular faqat ikkita mumkin bo'lgan qiymatga ega (masalan, erkak yoki ayol jinsi, borligi yoki yo'qligi anamnezdagi ma'lum bir kasallik ...). Pearson chi-square testi ko'p maydonli jadvallarni tahlil qilishda ham, omil va (yoki) natija uch va undan ortiq qiymatlarni olgan taqdirda ham qo'llanilishi mumkin.

3. Taqqoslangan guruhlar mustaqil bo'lishi kerak, ya'ni "oldin -" keyin kuzatuvlarni taqqoslashda chi-kvadrat testidan foydalanmaslik kerak. Bunday holatlarda McNemar testi (ikkita populyatsiyani taqqoslaganda) yoki Cochran's Q-testi hisoblanadi (uch va undan ortiq guruhlarni taqqoslashda).

4. To'rt maydonli jadvallarni tahlil qilishda har bir katakchada kutilgan qiymatlar kamida 10 bo'lishi kerak. Agar kutilayotgan hodisaning kamida bitta katakchasi 10 dan kichik qiymatga ega bo'lsa, unda tahlil uchun bu Fisherning aniq sinovidan foydalanish yaxshiroqdir.

Ko'p maydonli jadvallarni tahlil qilishda, kutilgan holatlar soni hujayralarning 20% ​​dan ko'prog'ida 5 dan kam bo'lmasligi kerak. Agar ushbu shart bajarilmasa, aktsiyalarni taqqoslash uchun Fisherning aniq sinovidan ham foydalanish kerak.

4.4. Pearson xi-kvadrat testini qanday hisoblash mumkin?

1. Favqulodda vaziyat jadvalining har bir katakchasi uchun kutilayotgan kuzatuvlar sonini hisoblang (munosabatlar yo'qligi haqidagi nol gipoteza rost bo'lishi sharti bilan) qatorlar va ustunlar yig'indisini ko'paytirib, so'ngra hosil bo'lgan mahsulotni umumiy songa bo'lish orqali. kuzatuvlar soni. Kutilayotgan qiymatlar jadvalining umumiy ko'rinishi quyida keltirilgan:

Χ2 mezonining qiymatini quyidagi formula bo'yicha topamiz

1. bu erda i - satr raqami (1 dan r gacha), j - ustun raqami (1 dan s gacha), Oij - ij uyasidagi kuzatuvlarning haqiqiy soni, Eij - ij hujayrasida kutilayotgan kuzatuvlar soni.

2. Erkinlik darajalari sonini quyidagi formula bilan aniqlang: f = (r - 1) × (c - 1). Shunga ko'ra, 2 qatorli (r = 2) va 2 ustunli (c = 2) to'rt maydonli jadval uchun erkinlik darajalari soni f2x2 = (2 - 1) * (2 - 1) = 1 ga teng.

3. χ2 mezonining qiymatini f erkinlik darajalari sonining kritik qiymati bilan solishtiring (jadvalga muvofiq).

Ushbu algoritm to'rt maydonli va ko'p maydonli jadvallar uchun amal qiladi.

4.5. Pearson xi-kvadrat testining qiymatini qanday izohlash mumkin?

Agar χ2 mezonining olingan qiymati kritikdan kattaroq bo'lsa, biz o'rganilgan xavf omili va natija o'rtasida tegishli ahamiyatga ega bo'lgan statistik bog'liqlik mavjud degan xulosaga kelamiz.

4.6. Pearson xi-kvadrat testini hisoblash misoli

Yuqoridagi jadvalga ko'ra chekish omilining arterial gipertenziya bilan kasallanishiga ta'sirining statistik ahamiyatini aniqlaylik:

1. Har bir katak uchun kutilgan qiymatlarni hisoblang:

2. Pearson xi-kvadrat testining qiymatini toping:

-2 = (40-33.6) 2 / 33.6 + (30-36.4) 2 / 36.4 + (32-38.4) 2 / 38.4 + (48-41.6) 2 / 41.6 = 4.396.

3. Erkinlik darajalari soni f = (2-1) * (2-1) = 1. Jadvaldan biz ahamiyatlilik darajasi p = 0,05 bo'lgan Pirson xi-kvadrat testining kritik qiymatini topamiz. va 1 erkinlik darajasi soni 3.841 ga teng.

4. Xi-kvadrat testining olingan qiymatini kritik bilan taqqoslang: 4.396> 3.841, shuning uchun arterial gipertenziya bilan kasallanishning chekish mavjudligiga bog'liqligi statistik jihatdan muhimdir. Ushbu munosabatlarning ahamiyatlilik darajasi p <0,05 ga to'g'ri keladi.