Dastlabki tushunchalar. Matematik fizika masalalarini yechishning sonli usullari

Chekli ayirmalar yoki to‘r usuli
Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli yechimini topishda eng qulay usullardan biridir .
Bu usulining asosida hosilarni Chekli ayirmalar nisbati bilan almashtirish qoidasi yotadi .
A ytaylik, Oxy koordinatalar tekisligida chegarasi T chiziq bilan chegaralangan yo‘ik G soha berilgan bo`lsin. G sohani kesib o‘tuvchi o‘qlarga parallel bo‘lgan to‘g’ri chiziqlar oylasini quramiz :

Bu to‘g’ri chiziqlarning kesishish nuqtalarni tugunlar deb ataladi. Hosil bo‘lgan turda ikki tugunni qo‘shni tugun deb ataladi. Agar ular biri ikinchisidan OX yoki OU koordinata o‘qlari yunalishida h yoki l masofada joylashgan bo‘lsa D+G sohaga tegishli bo‘lgan va sohaning chegarasi G dan, qadamdan kichik masofada turgan tugunlarni ajratamiz.
Sohaning biror tuguni va unga qo‘shni bo‘lgan turtta tugun ajratilgan tugunlariga tegishli bo‘lsa, bu tugunni ichki tugun deb ataladi. (10.1-rasm, A tugun). Ajratilganndan qolganlari chegara tugunlari deb ataladi(1-rasm, B, C tugunlar).
Noma’lum funktsiyaning to‘rning 5 yoki 9 tugunli sxemalarining

tugunlaridagi qiymatini orqali belgilaymiz. Har bir ichki nuqtadagi xususiy hosilalarni ayirmalar nisbati bilan quyidagicha almashtiramiz:
(10.1)
CHegaraviy nuqtalarda esa aniqligi kamroq bo‘lgan quyidagi formular bilan almashtiramiz:
(10.2)
Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli xususiy hosilarni quyidagicha almasht’ramiz:
(10.3)
Yuqorida ketirilgan almatiririshlar xususiy hosilasi tenglamalarni o‘rniga Chekli ayrimali sistemasini yechishga olib keladi.
Yuqorida ko‘rsatilgan sohada quyidagi Direxli masalani ko‘ramiz.
Qulaylik uchun (**) tenglamadan G chiziq bilan chegaralangan D bog‘lamli sohada aniqlanga elliptik turdagi tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz
(10.4*)
bu yerda a,c,d,e,g lar x va y larning funktsiyalari bo‘lib a(x,y)>0, b(x,y)>0 va g(x,y)≤0 bo‘lsin. (x_i,y_k) tugunda tenglamadagi f(x,y) funktsiya va koeffitsentlarni a_ij, b_ij, c_ij, d_ij, g_ij, f_ij, u_ij kabi belngilaymiz. Bu (10.4*) tenglama uchun quyidagi Direxli masalasi-chrgaraviy shart

u_G =(x,y), (x,y)ЄG
qo‘yilgan bo‘lsin.
Besh nuqtali tugunlar sxemasi bo‘yicha (10.1), (10.3) formulalar asosida Chekli ayirmalar yordamida (10.4*) tenglamani quyidagicha yozamiz.
a_ik +b_ik +c_ik +d_ik -g_iku_ik=f_{ik (*)}
SHuningdek G chegara chiziq funktsiyasi asosida chegara tugunlari yoki (0< <1)uchun quyidagi munosabatlarni yozamiz:

yoki
.
Agar tenglama tarkibida ishtrok etsa uni to‘qqiz nuqtali tugunlar sxemasi bo‘yicha Chekli ayirmalar bilan quyidagicha almashtirib (*) tenglamaga qo‘shamiz.
=
Chekli ayirmalar yordamida (10.4*) tenglamani, (x_i,y_k) tugunga nisbatan hosilbo‘ladigan tenglamalar sistemasini quyidagicha yozamiz:
A_i,ku_i,k+B_i,k u _i,k-1+C_i,ku _i,k+D_i,ku_i+1,k+E_i,ku_i,k+1 = f_{i,k (**)}
, , ,
,
Farazimizga asosan a(x,y)>0, b(x,y)<0, g(x,y)<0 lar silliq funktsiyalar bo‘lsa,
etarlicha kichik h uchun