Dastlabki tushunchalar. Matematik fizika masalalarini yechishning sonli usullari

Matematik-fizika tenglamalarni taqribiy yechish.
Dastlabki tushunchalar.
Matematik fizika masalalarini yechishning sonli usullari.
Chekli ayirmali sxemalar.
Ayirmali approksimatsi
Dastlabki tushunchalar.


Ikki noma’lumli o‘zgaruvchiga bog’liq bo‘lgan u=u(x,y) funktsiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilali differentsial tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz.
(*)
Bu yerda x,u erkli o‘zgaruvchilar, u izlanayotgan noma’lum funktsiya, lar x,u erkli o‘zgaruvchilar bo‘yicha birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalar.
(*) tenglamaning yechimi deb, uni ayniyatga aylantiruvchi u=u(x,y) funktsiyaga aytiladi. Bu yechim grafigi Oxuu fazoda sirtni ifodalaydi.
Agar (*) tenglamada u izlanayotgan noma’lum funktsiya va uning xususiy hosilalari ning darajalari birinchi bo‘lsa hamda ularning ko‘paytmalari ishtrok etmasa bunday tenglamani chiziqli deb ataladi. Uni quyidagicha yozish mumkin:
(**)
Bu yerda A,B,S,a,b,s koeffitsentlar o‘zgarmas yoki x, y erkli o‘zgaruvchilarning funktsiyalari bo‘lishi mumkin. (**)ni quyidagicha yozamiz
(***)
(***) o‘zgarmas koeffitsentli tenglama bo‘lsin. (***)tenglama diskriminanti D=AC-B² ni tuzamiz, buning ishorasiga qarab tenglama turini aniqlaymiz:
agar D>0 bo‘lsa, (**) elliptik turdagi tenglama:

agar D=0 bo‘lsa, (**) parabolik turdagi tenglama:

agar D<0 bo‘lsa, (**) giperbolik turdagi tenglama:

1.Agar (**) da A=1, B=0, C=1 bo‘lsa, elliptik turdagi Laplas tenglamasi deyiladi. Bu tenglama u=u(x,y) issiqlikni plastinkaning (x,y) nuqtasda vaqtga bog’liq bo‘lmagan holda tarqalishini ifodalaydi. Shuningdek elektr va magnit maydonlarihaqidagi masalalar, gidrodinamikaning siqilmaydigan suyuqlikning potentsial harakati, statsionar issiqlik maydonlariga tegishlik masalalarni yechish Laplas tenglamasiga keltiriladi.
2. Agar (**) da A=-a², a=1, B=0,C=0, b=0, c=0 bo‘lsa, bu parabolik turdagi tenglama bo‘lib, issiqlik tarqalish tenglamasi deyiladi. u t vaqt birligi ichida x koordinata bilan ingichka bir jinsli sterjen bo‘yicha u=u(x,t) issiqlikni tarqalishini ifodalaydi. F(x,t) –issiqlikni jisim bo‘yicha manbadan tarqalish zichligi bilan bog’liq funktsiya, agar bu funktsiya ishtrok etmasa bu tenglama birjinsli bo‘ladi. a- sterjenning fizik xossasiga bog’liq bo‘lgan o‘zgarmas. Shuningdek diffuziya hodisasi, filtratsiya masalalari Shunday tehglamaga keltirib o‘rganiladi.
3. Agar (**) da A=1, a=0, B=0,C=-a², b=0, c=0 bo‘lsa, bo‘ladi.Bu giperboik turdagi tenglama deyiladi. Torning ko‘ndalang tebranishi, sterjenning bo‘ylama tebranishi, simdagi elektr tebranishlari, aylanuvchi tsilindirdagi aylanma tebranishlar, gidrodinamika, gazodinamika va akustikaning tebranishi bilan bo‘g‘liq masalalarin tekshirish Shunday tenglamaga olib keladi.
Agar izlanayotgan funktsiya uchta erkli o‘garuvchiga bog‘liq bo‘sa, Laplas to‘lqin tenglamasi
,
issiqlik tarqalish tenglamasi
,
to‘lqin tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi.