Dars rejasi

1-chizma. iborat.

1-teorema.Parallelepipedning qarama-qarshi yoqlari teng va o'zaro parallel bo'ladi.

I s b о t i. Bizga barcha yoqlari parallelogrammdan iborat bo'lgan ABCDA₁ parallelepiped (2- chizma) berilgan bo'lsin. U holda AA₁D₁D parallelogrammda AA_l DD₁, AA₁ = DD₁ ,AD A₁D₁, AD = A₁D₁, BB₁C₁C parallelogrammda BC B₁C₁, BC = B₁C, BB₁ CC₁, BB₁ = CC₁; ABCD parallelogrammda AD BC, AD = ВС, AB CD, AB = CD bo'ladi. Shunday qilib, AA₁D va B₁BC burchaklarning mos to monlari yo'nalishdosh va, demak, ular o'zaro tengdir:

A₁AD = B₁BC. AA₁DD parallelogrammning ikkita qo'shni tomoni va ular orasidagi burchagi BB₁C₁С parallelogrammning ikkita qo'shni to moni va ular orasidagi burchagiga tengdir.Demak, AA₁D₁D va BBC₁C parallelogrammlar o'zaro teng. Bu yoqlar o'zaro parallel hamdir, chunki AA₁D₁D yoqning ikkita o'zaro kesishuvchi AA₁ va AD tomonlari, mos ravishda, BB₁C₁С yoqning BB₁ va ВС tomonlariga paralleldir.Parallelepi pedning qolgan qarama-qarshi yoqlari juftliklarining parallelligi shunga o'xshash isbotlanadi.

2-teorema. Parallelepipedning diagonallari bitta nuqtada kesishadi va bu nuqtada teng ikkiga bolinadi.

I s b о t i.

Bizga barcha yoqlari parallelogrammlardan iborat ABCDA₁B₁C₁D₁ parallelepiped berilgan bo'lsin (3-chizma). Unda: ABCD parallelogramm da BC\\AD va ВС = AD; BB₁C₁C parallelogrammda ВС || B₁ C₁ va ВС = B₁ C₁ bo'ladi. Shuning uchun B₁C₁\\AD va B₁C₁ =AD, demak, AB₁C₁D to'rtburchak paral­lelogrammdan iborat. Bu parallelogramm ning AC₁ va B₁Ddiagonallari О nuqtada kesishadi va bu nuqtada teng ikkiga bo'linadi.

2-chizma. 3-chizma.

Endi parallelepipedning DCC₁D₁ va A₁B₁C₁D₁ yoqlarini qaraymiz. Ular paral lelogrammlar bo'lganligidan, A₁B₁ C₁D₁, A₁B=C₁D₁ va C₁D₁ CD,C₁D₁ = CD bo'ladi. U vaqtda A₁B₁ CD va A₁B₁ =CD boiishini olamiz. Demak, CDA₁B₁ to'rt burchak ham parallelogrammdan iborat va uning A₁C,B₁D diagonallari bitta О nuqtada kesishadi va bu nuqta da teng ikkiga bo'linadi. Modomiki, B₁D kesma yagona О o'rta nuqta ga ega ekan, biz parallelepipedning uchta A₁C, AC₁ va B₁D diagonalla ri bitta nuqtada kesishishi va bu nuqtada ular teng ikkiga bo'linishini is botladik. Yuqoridagiga o'xshash, A₁D₁C₁B₁ to'rtburchakni qarab, to'r tinchi BD₁ diagonalning ham О nuqtadan o'tishi va bu nuqtada tenglik kiga bo'linishini isbotlash mumkin.

1- n a t i j a. Parallelepipedning diagonallari kesishadigan nuqta uning simmetriya markazidan iborat.

3-teorema. To'g'ri burchakli parallelepiped ixtiyoriy diagonalining kvadrati uning uchta o'lchamlari kvadratlari yig’indisiga teng.

I s b о t i. ABCDA₁B₁ C₁D₁ to'g'ri burchakli parallelepipedning barcha yoqlari (4- chizma) to'g'ri to'rtburchaklardir. Shu sababli uning asosida yotgan ABCD to'g'ri to'rtburchakda AC va BD diagonallar o'zaro teng: AC=BD. U holda parallelepipedning diagonallari, teng proyeksiyalarga ega og'malar sifatida, o'zaro tengdir:

AC₁= A₁C—B₁D = BD₁ .Shuning uchun teoremani faqat bitta diago nal uchun isbotlash yetarli.To'g'ri burchakli ABB₁D dan Pifagor teorema siga ko'ra, B₁D² = BD² + В B₁²; to'g'ri burchakli ABD dan esa

BD² = AB² + AD² ifodani hosil qilamiz. Agar BB₁ – AA₁ ekanini hisobga olsak, to'g'ri burchakli paral lelepipedning diagonali uchun talab qilin gan B₁D² = AB² + AD² + A ² ifodani ola miz. Teorema isbotlandi. Oxirgi tenglikni 4 ga ko'paytirib,

4 D² =4AB²+4AD² +4A ²

munosabatni hosil qilamiz. To'g'ri burchakli parallele pipedning barcha to'rtta diago nali o'zaro teng bo'lgan ligidan, bu tenglikni paral lelogramm diagonallari ning xossasiga o'x shash xossa sifatida ifodalash mumkin: to'g'ri burchakli parallelepipedda uning diagonallari kvadratlarining yig'indisi uning barcha qirrala

ri kvadratlari yig'indisiga teng. 4-chizma. Bizga parallel tekisliklarda joylashgan ikkita o'zaro teng ABCDEF va A₁B_]C₁D₁E₁ ko'pburchak berilgan bo'lib, ularning mos tomonlari o'zaro parallel, ya'niAB A₁B₁, BC B₁C₁,..., EA E₁A₁, shuningdek, ularning mos uchlarini tutashtiruvchi AA₁, BB₁,...,EE₁ kesmalar bir-biri ga parallel bo'lsin. Demak, AA₁B₁B,BB₁C₁C,..., FF₁A₁A to'rtburchak lar parallelogrammlardan iborat.


Prizma — asoslar deb ataladigan ikki yog'i parallel tekisliklarda yotuvchi teng ko'pburchaklar, qolgan barcha yoqlari bitta to'g'ri chiziqqa parallel (masalan, AA₁ to'g'ri chiziqqa) parallelogrammlardan iborat ko'pyoqdir (5-chizma).