Darajali qatorlar va ularning xossalari

(1.1.6)

sonlar ketma-ketligini tuzamiz.

Ma’lumki, har qanday sonlar ketma- ketligining yuqori limiti mavjud. Demak, (1.1.6) ketma-ketlik ham yuqori limitga ega [6, b 33].

Uni bilan belgilaylik:

3-teorema: (Koshi - Adamar teoremasi). Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi

(1.1.7)

bо‘ladi [6, b 34].

4.Darajali qatorlarning xossalari

Biror

(1.1.1)

darajali qator berilgan bо‘lsin.

4-teorema. Agar darajali qatorning yaqinlashshi radiusi bо‘lsa, u xolda bu qator segmentda tekis yaqinlashuvchi bо‘ladi.

Isbot. Shartga kо‘ra -(1.1.1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi. Demak, berilgan qator intervalda yaqinlashuvchi. Jumladan, bо‘lganligidan, (14.27) darajali qator nuqtada ham yaqinlashuvchi (absolyut yaqinlashuvchi) bо‘ladi. Demak

qator yaqinlashuvchi.

uchun har doim bо‘ladi. Natijada, ushbu

qatorning har bir hadi (1.1.11) qatorning mos hadidan katta emasligini topamiz. U holda Veyershtrass alomatiga kо‘ra darajali qator segmentda tekis yaqinlashuvchi bо‘ladi. Teorema isbot bо‘ldi.

3-eslatma. Bu xossadagi sonni (1.1.1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi ga har qancha yaqin qilib olish mumkin. Ammo, umuman aytganda, (1.1.1) darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bо‘lavermaydi.

Masalan, ushbu

darajali qator oraliqda yaqinlashuvchi , ammo u da tekis yaqinlashuvchi emas [9, b 112].

5-teorema. Agar darajali qatorning yaqinlashish radiusi bо‘lsa, u holda bu qatorning

5-teorema. Agar darajali qatorning yaqinlashish radiusi bо‘lsa, u holda bu qatorning

yig‘indisi oraliqda uzluksiz funksiya bо‘ladi.

6-teorema: (Abel teoremasi). Agar darajali qatorning yaqinlashish radiusi bо‘lib, bu

qator nuqtada yaqinlashuvchi bо‘lsa, u xolda (1.1.1) qatorning yig‘indisi funksiya

7-teorema: Agar darajali qatorning yaqinlashish radiusi bо‘lsa, bu qatorni oraliqda

hadlab integrallash mumkin, shu nuqtada chapdan (о‘ngdan) uzluksiz bо‘ladi.