Darajali qatorlar va ularning xossalari

Darajali qatorning yaqinlashish sohasi (tо‘plami) strukturasini aniqlashda quyidagi Abel teoremasiga asoslanadi.

1-teorema (Abel teoremasi). Agar

(1.1.1)

darajali qator ning qiymatida yaqnlashuvchi bо‘lsa, ning

(1.1.3)

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (1.1.1) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bо‘ladi [1, b 56].

2.Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali.

2.Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali.

Endi darajali qatorning yaqinlashish sohasi strukturasini aniqlaylik.

2-teorema. Agar

(1.1.1)

darajali qator ning ba’zi ( ) qiymatlarida yaqinlashuvchi, ba’zi qiymatlarida uzoqlashuvchi bо‘lsa, u holda shunday yagona haqiqiy son topiladiki (1.1.1) darajali qator ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi, tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bо‘ladi [1, b 67].

Isbot. Berilgan (1.1.1) darajali qator da yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchi bо‘lsin. Ravshanki, bо‘ladi. Unda 1-teorema hamda

1-natijaga muvofiq (1.1.1) darajali qator ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bо‘ladi. Jumladan (1.1.1) darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi, b(b>|x1|) nuqtada esa uzoqlashuvchi bо‘ladi (1-chizma). Demak, (1.1.1) qator segmentning chap chekkasida yaqinlashuvchi, о‘ng chekkasida esa uzoqlashuvchi.

segmentning о‘rtasi nuqtani olib, bu nuqtada (1.1.1) qatorni qaraylik. Agar (1.1.1) qator nuqtada yaqinlashuvchi bо‘lsa, unda segmentni, nuqtada uzoqlashuvchi bо‘lsa, segmentni olib, uni orqali belgilaylik. Demak, (1.1.1) qator nuqtada yaqinlashuvchi, nuqtada esa uzoqlashuvchi

bо‘lib, segmentning uzunligi ga tengdir. Sо‘ng segmentnipg о‘rtasi nuqtani olib, bu nuqtada (1.1.1) qatorni qaraymiz. Agar u nuqtada yaqinlashuvchi bо‘lsa, unda segmentni, uzoqlashuvchi bо‘lsa, segmentni olib, uni orqali belgilaymiz. Demak, (1.1.1) qator nuqtada yaqinlashuvchi, nuqtada esa uzoqlashuvchi bо‘lib, segmentning uzunligi ga tengdir. Shu jarayonni davom ettiraveramiz. Natijada ichma-ich joylashgan