Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

example: 10.7-4
Find the inductor current and voltage across current source as a function of time in the circuit in
Fig. 10.7-5 (a). The part of the circuit that is needed to create the initial current in the inductor is not 
shown in the diagram. Also, find what must be the initial current in the inductor so that the inductor 
current will be transient-free for t 
≥
0
+ 
(a)
10 
Ω
10 
Ω
+
+
–
–
i
L
v
CS
0.2 H
IC
= 1 A
2
u
(
t
)
20
u
(
t
)
(b)
20 V
2 A
10 
Ω
10 
Ω
+
–
i
L
Fig. 10.7-5 
Circuits for Example: 10.7-4 
Solution
Time constant of the circuit is 0.01s.The zero-input i
L
response is 1e
-
100
t
A
.
Zero-state response when 
the voltage source is acting alone is i
L
= 
(20/20) (1 
- 
e
-
100t
) A. The zero-state response when the 
current source is acting alone is i
L
= 
1(1 
- 
e
-
100
t
) A.
\
Total response for i
L
= 
2 
- 
e
-
100
 
t
A for t 
≥
0
+ 
Zero-input v
cs
response 
= 
voltage across the first 10
W
resistance due to zero-input response in 
i
L
= - 
10 e
-
100t
A. 
Zero-state v
cs
response when the voltage source is acting alone is 20 – 10 
×
zero-state i
L
for the 
same condition 
= 
20 
-
10(1 
- 
e
-
100t
) 
= 
10(1 
+ 
e
-
100t
) V 
Zero-state v
cs
response when the current source is acting alone is 10 
× 
(2 
- 
zero-state i
L
for the same 
condition)
= 
10 
× 
(2
- 
(1 
- 
e
-
100t
)) 
= 
10(1 
+ 
e
-
100t
) V
\
Total response for v
cs
= 
20 – 10 e
-
100t
V for t 
≥
0
+ 
We could have obtained v
cs
as (10 
×
total response in i
L
+ 
0.2 
×
first derivative of total response in i
L
) too.
Inductor current will be transient free if the natural response terms in zero-input response cancel 
out the natural response terms in total zero-state response. The natural response terms in total zero-
state response in this case is –2 e
-
100
 
t
and hence initial current must be 2A for transient-free inductor 
current in this circuit.
Another point of view would be that the inductor current will be transient-free if the initial current 
and final current (i.e., steady-state current for DC steady state) are the same. In general, inductor 
current will be transient-free if the initial current at t 
= 
0
+ 
and the value of forced response component 
(this need not be a DC component) at t 
= 
0
+ 
are equal. The DC steady state may be obtained from circuit 
Fig. 10.7-5 (b). Applying superposition principle, we get the steady-state value of i
L
as (20V/20
W
) 
+ 
2 A 
×
(10
W
/20
W
) 
= 
2 A. Thus, the required initial current in the inductor for transient-free response 
will be 2 A again. 
A single-inductor circuit can be described by a first-order differential equation on inductor current. 
It will be possible to work out the other circuit variables from inductor current alone. Therefore, it 
follows that if inductor current is transient-free, so will all the other circuit variables be.

---

Series 
RL
Circuit with Exponential Inputs 
10.43