Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

example: 10.7-1
An inductor, resistor and a unit impulse current source are connected in parallel. Find the zero-state 
impulse response for resistor current and inductor current in this circuit.
Solution
The impulse current cannot flow through L and hence it flows through R producing an impulse voltage 
R
d
(t) across the combination. This impulse voltage has an area content of R V-s. R V-s dumped into 
an inductor of L Henry will produce a change in its current by R/L A. Since initial condition for zero-
state response is zero the current of inductor at t 
= 
0
+ 
will be this change amount itself 
- 
i.e., R/L A. 
Thereafter, it is a source-free circuit since impulse current source is an open circuit after t 
= 
0
+
.
Therefore, the current in both R and L will be (1/
t
) e
-
t
 
/
 
t
where 
t
= 
L/R.
example: 10.7-2
An inductor, resistor and a 1A DC current source are connected in parallel at t 
= 
0. The initial condition 
for inductor is specified as I
o
. Find the time-domain expressions for current through L and R and the 
voltage across the combination. Also, find the total energy delivered by the current source, energy 
consumed by the resistor and the energy stored in the inductor for a special case where the initial 
condition is zero.
Solution
We use the result from previous example in solving this. The total response for inductor current is the 
sum of zero-input response and zero-state response. A series RL circuit with some non-zero initial 
condition gets formed when current source at input is set to zero. Therefore, the zero-input response 
of this circuit is same as the zero-input response of an RL circuit we have discussed so far. The zero-
state response for switched DC current input can be found by integrating the impulse response with 
current input.
Zero-input response 
and Zero-state impulse
L
i
I e
zi
t
( )
/
=
−
0
t
response (1/
Zero-state step response
(1/
=
∴
=
−
t
t
t
)
)
/
( )
e
i
t
L zs
ee
dt
e
i
I e
e
t
t
t
t
t
−
−
−
−
+
∫
= −
∴
=
+ −
=
/
/
/
/
(
)
t
t
t
t
0
1
1
1
0
Total response 
L
−−
−
+ =
≥
= −
=
−
−
+
−
(
)
,
(
)
(
/
/
I
e
i
i
t
i
I e
v
R
t
t
0
0
1
1
0
1
1
t
t
Since 
for
and
L
R
R
R
II e
t
0
)
/
−
t

---

Unit Impulse Response of Series 
RL
Circuit 
10.41
The total energy delivered by source is found by integrating the power delivered from 0 to 
∞
. 
The power delivered is given by voltage across the combination 
×
source current value. Similarly, 
the energy dissipated in R and stored in L can be found by integrating v
R
i
R
and v
L
i
L
from 0 to 
∞
. 
The integral must return L/2 in the case of inductor because that is the stored energy in an inductor 
carrying 1A. Let us call these three energy values E
S
, E
R
and E
L 
respectively. Then,
i
e
i
e
v
R e
t
t
L
R
R
with zero initial condition)
and
= −
=
=
−
−
−
(
) (
/
/
1
t
t
tt
t
t
E
R e
dt
R
L
E
R e
dt
R
L
E
R
/
/
/
;
/
t
t
t
t
t
∴
=
=
=
=
=
=
=
−
∞
−
∞
+
+
∫
∫
S
R
L
J
J
0
2
0
1
2
1
2
ee
e
dt
R
L
L
L
t
t
−
−
∞
−
=
= −
=
+
∫
/
/
(
)
/
t
t
t
1
2
1
1
2
1
2
0
J
If the current source had a magnitude of I instead of 1, all the three energy terms are to be multiplied 
by I
2
. Hence, we see that (i) it takes LI
2
/2 joules of energy dissipation in the parallel resistance whenever 
we charge an inductor to I A and this dissipated energy is as much as the energy stored in the inductor 
and (ii) this energy dissipation is independent of R value. The value of R will decide the time taken to 
dissipate this amount of energy but not the amount of energy.