Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

10.7.1 
Zero-State response for other Inputs from Impulse response
The unit impulse response (hereafter this will be referred to as ‘the impulse response’ – that it is a 
zero-state response and that unit impulse is applied will be implicit) is the most important response 
for a linear circuit. We will see in a later chapter that zero-state response for any other well-behaved 
forcing function can be found from it. In this sub section, we will show that it is an easy matter to get 
zero-state response for step input, pulse input and ramp input functions from the impulse response by 
integrating it.
First, we establish the relation between unit impulse function and unit step function. It is a simple 
one. Running integral of unit impulse function results in unit step function. Unit impulse function is 
defined as 
d
d
( )
( )
t
t
t
t
t dt
=
− ∞ < ≤
=
≤ < ∞





−
+
0
0
0
0
0
for
undefined at
for
and
==
−
+
∫
1
0
0
Consider the following integral.
f t
t dt
t
( )
( )
=
−∞
∫
d

---

10.38
First-Order 
RL
Circuits
Obviously, the value of f(t) is zero for 
-∞
< t 
≤
0
-
since 
d
(t) is zero in that range. But area under 
impulse function undergoes a rapid change by 1 when t goes from 0
-
to 0
+
.
Therefore, f(0
-
) 
= 
0, 
whereas f(0
+
) 
= 
1.Therefore, t 
= 
0 is a point of discontinuity in f(t) and has to be excluded from 
its domain. f(t) remains at 1 for t 
≥
0
+ 
since 
d
(t) is zero for t 
≥
0
+
.
Therefore, the description of f(t) 
coincides with the definition of u(t), 
u t
t
t
t
( )
=
− ∞ < ≤
=
≤ < ∞





−
+
0
0
0
1
0
for
undefined at
for
. 
Therefore, 
u t
t dt
t
( )
( )
=
−∞
∫
d
.
Now, we turn our attention to the differential equation describing series RL circuit for zero-state 
response with some input function v
S
(t) switched onto the circuit at t
= 
0. Here, v
S
(t) is a function 
which is defined for all t and may not be zero for t < 0. We make the applied voltage equal to zero in 
the negative time axis and equal to this function in the positive time axis by multiplying it with u(t) to 
find the zero-state response.
di t
dt
i t
L
v t u t
t
v
t
v t u t
SU
L
L
S
S
for all 
Let 
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ),
+
=
=
t
1
then,
for all 
L
L
di t
dt
i t
L
v
t
t
SU
( )
( )
( )
+
=