Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

10.8.1 
Zero-State response for real exponential Input
We consider a special case of complex exponential with 
w
= 
0. The input source function is then of the 
form e
-
s
t
u(t). With a positive value of 
s
, this input function has the same format as that of the impulse 
response of a series RL circuit (impulse response of any first-order circuit for that matter). Hence, the 
problem we are trying to solve may be thought of as a situation where the impulse response of one 
circuit is applied to a second circuit as input. Such situations arise when we cascade different circuits. 
The zero-state response is obtained by putting s 
= -
s
in Eqn. 10.8-4 and is expressed as in Eqn. 10.8-5.
i t
R
e
e
t
R L
L
t
t
( )
(
=
−




−
≥
=
=
−
−
+
1
0
1
a
a s
a
t
s
a
) for
where
/
/
(10.8-5)
We note the 
a
- 
s
in the denominator and raise the question – what is the response when the real 
exponential input has the same index as that of impulse response of the circuit ? It is not infinite as Eqn. 
10.8-5 would suggest. The correct answer is that this is one situation under which our assumed trial 
particular integral is incorrect. We have to find the particular integral afresh. There are well-established 
methods to arrive at particular integral under this kind of situation in mathematics. But we do not take 
up this case here. We will get at it later chapter and solve it without having to learn a new method for 
that. Therefore, we qualify the solution in Eqn. 10.8-5 by specifying that solution is valid only if 
a
∈
s
.
i t
R
e
e
t
R L
L
t
t
( )
(
/
=
−




−
≥
=
=
−
−
+
1
0
1
a
a s
a
t
s
a
) for
where
/ and
a s
≠
(10.8-6)
The input waveform is exponential and we can think of a time constant for this waveform too. Let 
us denote this time constant as 
t
e 
with the subscript reminding us that this is the time constant of an 
excitation waveform. Obviously, 
t
e
= 
1/
s
. Further, we normalise the current in Eqn. 10.8-6 using a 
normalisation base of 1/R A and time by a normalisation base of 
t
s to put the solution in terms of the 
normalised variables as in Eqn. 10.8-7 where the subscript n indicates normalised variables.
i t
e
e
t
e
e t
t
e
Ln
n
n
) for
,
( )
/
(
/ ,
( /
)
=
−




−
≥
=
−
−
+
1
1
0
1
t t
t
s t
t t
==
≠
R L
e
/ and 
t
t
(10.8-7)
The input functions and i
L
waveforms are shown for two cases in Fig. 10.8-1. 

---

Series 
RL
Circuit with Exponential Inputs 
10.45
1
1
2
3
4
5
t
/
τ
v
S
(
t
/ )
τ
ττ
= 0.5
e
ττ
= 2
e
(a)
1
1
2
3
(b)
0.693 1.386
4
5
t
/
τ
i
Ln
ττ
= 0.5
e
ττ
= 2
e
Fig. 10.8-1 
Zero state response for exponential input (a) Input wave (b) Normalised 
inductor current
The time instants at which response reaches maximum and the maximum response are marked. 
General expressions for these may be derived by differentiating the function in Eqn. 10.8-7 and setting 
the derivative to zero. Note that sending 
t
e 
to 
∞
amounts to applying a unit step input and zero-state 
response indeed approaches the unit step zero-state response as expected.