Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

V
0
=
×
∠ −
=
∠
=
+
10 10
2 5
2
2
60
4 47
2
3 44
4 47
10
0
0
/ /
/ /
.
.
.
.
cos
j
v t
 
 
t 
o
( )
(

3 44
0
.
) V (
input was a cosine function)
∵
(b)
10 
Ω
10 
Ω
v
0
+
+
–
–
j
5 
Ω
10 –30°
2
(a)
10 
Ω
10 
Ω
–5 V
v
0
+
–
0 A
Fig. 10.9-10 
Circuits for zero-state response due to current source in Example: 10.9-3 
The zero-state response due to voltage source is obtained by adding this solution to transient 
response term and evaluating the arbitrary constant in the transient response term by using the initial 
condition for v
o
(t) we have already calculated.
v t Ae
t
 
 
t
v
A
o
o
( )
(
) 
( )
V
=
+
+
=
⇒ +
−
+
20
4 47
10
3 44
0
5
4 47
3
0
.
cos
.
.
cos ..
.
.
.
cos
.
44
5
0 54
0 54
4 47
10
3 44
0
0
20
= ⇒ =
∴
=
+
+
−
A
v t
e
t
 
 
t
o
( )
(
) A ffor 
t
≥
+
0
Step 4 – Get total response and identify various components
The zero-input response 
= 
5
20
e t
-
A
The zero-state response due to v
S
(t) 
= 
1 41
2 24
10
108 44
20
0
.
sin
e
t
.
 
t
.
−
+
+
(
) V
The zero-state response due to i
S
(t) 
= 
0 54
4 47
10
3 44
20
0
.
.
cos
.
e
t
 
t
−
+
+
(
) A
\
The total response and its components are
v t
e
.
 
t
.
t .
t
o
(
)
(
( )
.
sin
.
cos
=
+
+
+
+
−
6 95
2 24
10
108 44
4 47
10
3 4
20
0
44
0
6 95
4 45
10
32 52
0
0
0
20
) V for 
(
) V for 
T
t
e
t .
t
t
≥
=
+
+
≥
+
−
+
.
.
cos
rransient component 
V; steady - state component
=
=
−
3 53
4
20
.
e
t
..
cos
45
10
32 52
5
0
20
(
) V
Zero-input response 
V; Zero - 
t .
e
t
+
=
−
sstate response
.95
(
) V
=
+
+
−
1
4 45
10
32 52
20
0
e
t .
t
.
cos
example: 10.9-4
Find expressions for inductor current and voltage in the circuit in Fig. 10.9-11 (a) for t 
≥
0
+ 
and plot 
them in the range 0
+ 
≤
t 
≤
1s.

---

10.56
First-Order 
RL
Circuits
Solution
The voltage source in this circuit is specified as 15 u(0.5
-
t). u(x) is 0 for x 
≤
0
-
,
1 for x 
≥
0
+ 
and 
undefined at x 
= 
0. Therefore, u(0.5-t) is a time function which is 0 for t 
≥
0.5
+,
1 for t 
≤
0.5
-
and is 
undefined at t 
= 
0.5. This waveform is shown in Fig. 10.9-11 (b). Physically, it implies that 15V DC 
source was connected to the circuit at infinite past and it is removed and instead a short-circuit is put 
across the circuit at t 
= 
0.5s.
Since the 15V source was connected long back the circuit had enough time to reach DC steady-
state by the time t becomes zero. Therefore, the initial inductor current at t 
= 
0
-
can be obtained by 
solving the resistive circuit with inductor replaced by short-circuit. This will be 0.5 A. The relevant 
circuit appears in Fig. 10.9-12 (a). 
10 
Ω
(a)
10 
Ω
+
–
10 
Ω
t
= 0
15 
Ω
0.75 H
15
u
(0.5 – 
t
)
v
i
(b)
15
t
15
u
(0.5 – 
t
)
Fig. 10.9-11 
Circuit for Example: 10.9-4 
The switch closes and puts 15 
W
resistance into the circuit at t 
= 
0. A new steady-state will be 
established in the circuit if there is no further change in the circuit. But the circuit cannot anticipate 
that a structural change or a change in source functions is going to take place in future and modify 
its response in the present based on such anticipation. Therefore, the evolution of circuit variables 
will be towards the expected steady-state commensurate with the current nature and values of source 
functions. In the present example, we know that the circuit will not be allowed to reach steady-state 
since the input is going to go down to zero at 0.5 s and the circuit will start on a new transient at that 
instant. But that does not prevent us from asking the question – what would have been the final value 
had the circuit been allowed to reach there? – Because the circuit is going to move only along that 
waveform up to 0.5s. This expected final value, had the circuit been allowed to proceed to steady-state, 
can be worked out by replacing inductor by short-circuit. This circuit along with solution is shown in 
Fig. 10.9-12 (b).
i
(a)
10 
Ω
10 
Ω
10 
Ω
+
+
–
–
15 V
1 A
0.5 A
0.5 A
0.5 A
v
i
(b)
10 
Ω
10 
Ω
10 
Ω
15 
Ω
15 V
1 A
1 A
0.5 A
1.5 A
0.5 A
v
+
+
–
–
Fig. 10.9-12 
Initial and final value evaluation for the circuit in Example: 10.9-4 
The time constant relevant for t 
≥
0
+ 
can be found by setting the voltage source value to zero with 
the 15 
W
already connected in place in Fig. 10.9-11 (a). The equivalent resistance across inductor will 
be 7.5 
W
and 
t
will be 0.1s.

---

Summary 
10.57
Now, the expression for i in the time range 0
+ 
≤
t 
≤
0.5
-
can be found as below.
i t
Ae t
i
 A
.
.
A
i t
( )
.
( )
.
( )
=
+
=
∴ +
=
= −
∴
=
−
+
10
1 5
0
0 5
1 5 0 5
1
with
A
and 
−−
+
≤ ≤
∴
=
=
−
+
−
−
e t
t
v t
di
dt
e t
10
10
1 5
0 5
0 75
7 5
.
.
( )
.
.
A for 0
V for 0
++
−
≤ ≤
t
0 5
.
(10.9-1)
At t 
= 
0.5s, the input voltage goes to zero. A new transient in a source-free circuit starts at t 
= 
0.5
+
.
Since there is no impulse voltage involved in the circuit, the inductor current will remain continuous 
between 0.5
-
and 0.5
+
.
The value at 0.5
-
can be found by evaluating i(t) at that instant using the 
expression for i(t) in Eqn. 10.9-1. Further, in a source-free circuit there is no forced response term.
i
e
i t
e
t
t
v
( . )
.
.
( )
.
)
.
.
(
.
0 5
1 5 1 5
1 5
0 5
10 0 5
10
0 5
= −
+
≈
∴
=
−
≥
∴
− ×
−
+
A
A for 
(( )
.
.
)
.
(
.
t
di
dt
e
t
t
=
= −
−
≥
−
+
0 75
11 25
0 5
10
0 5
V for 
(10.9-2)
The plots of inductor current and voltage across inductor are given in Fig. 10.9-13.
0.1 0.2
0.2
0.3 0.4
0.4
0.5 0.6
0.6
0.7
Time (s)
0.8
0.8
1.2
1.4
1.6
1
0.9
0.2
– 2
2
4
6
8
V
[V]
i
[A]
– 4
– 6
– 8
–10
–12
0.4
0.6
Time (s)
0.8
Fig. 10.9-13 
Inductor current and voltage in Example: 10.9-4
10.10 
Summary
• Circuits containing energy storage elements have memory in time-domain. They are described 
by linear ordinary differential equations with constant coefficients. We need to know the forcing 
function from some time instant onwards along with initial conditions in the circuit specified at 
that instant to solve such differential equations.
• We focussed on series RL circuit in this chapter. RL circuit is described by a first-order linear 
differential equation. The past history of inductor is contained in a single initial condition 
specification in an RL circuit.

---

10.58
First-Order 
RL
Circuits
• The solution of the differential equation describing the inductor current in an RL circuit contains 
two terms – the complementary function and particular integral. Complementary function is the 
solution of differential equation with zero forcing function. Particular integral is the solution due 
to the input function and is defined in the domain of input function. The total solution is obtained 
by adding these two. The complementary function has arbitrary amplitude that should be fixed by 
ensuring that the total solution complies with the specified initial condition.
• The circuit variables in the RL circuit will contain two response components 
- 
transient 
response (also called natural response) and forced response. Natural response is the way in 
which the inertia in the circuit reacts to forcing function’s command to change. Complementary 
solution gives the natural response and particular integral gives the forced response in a 
circuit.
• The nature of natural response of a linear time-invariant circuit is independent of the type or 
magnitude of forcing function and depends only on circuit parameters and nature of interconnections. 
Natural response in RL circuit is exponential of the form A e
-
t
 
/
 
t
where 
t
= 
L/R is defined as time 
constant of the circuit. A is to be fixed for compliance with initial condition.
• The initial current in an RL circuit at t 
= 
0
-
and t 
= 
0
+ 
are the same if the circuit does not contain 
impulse sources and it cannot support impulse voltages.
• Step response of a circuit is its response when unit step input is applied. In the case of an RL 
circuit, step response is a rising exponential, approaching a steady-state value asymptotically as 
t 
→
∞
. The step response never gets done. However, it may be considered to be over within 5 time 
constants for practical purposes.
• Time constant can be understood as the additional time required from the current instant for the 
step response to reach the final value, assuming that the rate of rise of response is held constant at 
its current value from that instant onwards.
• Free response of an RL circuit is its response when input is zero and there is some initial energy 
trapped in the inductor. It will contain only natural response terms. The inductor current in this 
case falls exponentially towards zero.
• If all the transient response terms are of vanishing nature, the only remaining response in the 
long run will be the forced response component. Then, the forced response component is termed 
as the steady-state response provided there are constant features describing the forcing function. 
Three kinds of steady-state are usually studied in circuits – DC steady-state, AC steady-state and 
periodic steady-state. Inductors can be replaced by short-circuits for DC steady-state analysis. AC 
steady-state analysis can be carried out using phasor analysis.
• Impulse response of a circuit is its response when a unit impulse input is applied to it. Impulse 
response of circuits will contain only natural response terms. 
• The response due to initial energy and the response due to application of impulse are 
indistinguishable in an RL circuit and hence they can be replaced for each other. An initial current 
of I
0
in an inductor of value L can be replaced by zero initial condition with a voltage source LI
0
d
(t) 
connected in series with the inductor.
• Step response and ramp response in an RL circuit can be obtained by integrating its impulse 
response successively.
• Zero-input response of a circuit is its response when there is no input but there is initial energy. 
It will contain only natural response terms. Zero-state response is the response when the circuit is 
initially at rest (zero initial conditions) and input is applied. It will contain both natural response 
terms and forced response terms. The total response is given by sum of zero-input response and 
zero-state response.

---

Problems 
10.59
• Forced response (and hence steady-state response) obeys superposition principle with respect 
to input source functions. But transient response and total response do not obey superposition 
principle 
- 
neither with respect to initial conditions nor with respect to input source functions. 
However, zero-input response obeys superposition principle with respect to initial conditions and 
zero-state response obeys superposition principle with respect to input source functions.
• Total response in single-inductor, multi-resistor circuits can be found with the help of superposition 
principle and Thevenin’s theorem by evaluating zero-input response for the entire circuit and zero-
state response for each source separately.