Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

RL
Circuits
10 
Ω
10 
Ω
(a)
0.25 H
+
+
–
–
v
s
(
t
)
v
o
IC
= 0 A
10 
Ω
10 
Ω
(b)
0.25 H
+
–
v
o
i
s
(
t
)
IC
= 0 A
Fig. 10.9-8 
Circuits for obtaining zero-state response components in Example: 10.9-3 
We employ phasor method to solve for the sinusoidal steady-state response in each circuit, add a 
transient response term of Ae
-
t/
t
format and evaluate A by substituting suitable initial condition.
Step 3a 
- 
Zero-state response in Fig. 10.9-8 (a)
The circuits for evaluation of initial condition and sinusoidal steady-state response for this circuit 
is shown in Fig. 10.9-9. Circuit in Fig. 10.9-9 (b) shows the circuit for initial condition evaluation. 
The voltage source is replaced by a DC source of value same as the value of v
S
(t) at t 
= 
0
+ 
i.e., 10 sin 
p
/4 
= 
7.07 V. The inductor is replaced by a DC current source of value equal to its initial condition. 
But in a circuit for evaluating zero-state response initial condition for inductor current will be zero. 
Therefore, it is a current source of zero value, i.e., it is an open circuit. Therefore, v
o
at t 
= 
0
+ 
is 
7.07/2 
= 
3.535 V.
The angular frequency of v
S1
(t) is 10rad/s. Therefore, inductor will have an inductive reactance 
of 10 x 0.25 
= 
2.5 
W
. The amplitude of v
S1
(t) is 10 V. In phasor equivalent circuit, we usually specify 
rms value of sources. Hence, 10/
√
2 at 45
o
is the voltage source value in the circuit used for sinusoidal 
steady-state response evaluation. The sinusoidal steady-state response is evaluated as below.
(a)
10 
Ω
10 
Ω
7.07 V
v
0
+
+
–
–
0 A
(b)
10 
Ω
10 
Ω
v
0
+
+
–
–
j
2.5 
Ω
10 45°
2
Fig. 10.9-9 
Circuits for zero-state response due to voltage source in Example: 10.9-3 
V
0
o
( )
=
+
×
∠
=
∠
=
10
2 5
10 10
2 5
10
2
45
2 24
2
108 44
2 24
0
0
/ /
.
/ /
.
.
.
s
j
j
v t .
iin
 
t
.
(
) V ( input was sine function)
10
108 44
0
+
∵
The zero-state response due to voltage source is obtained by adding this solution to transient 
response term and evaluating the arbitrary constant in the transient response term by using the initial 
condition for v
o
(t) we have already calculated.
v t Ae
t
.
 
t
.
v
A
o
o
( )
(
) 
( )
V
=
+
+
=
⇒ +
−
+
20
2 24
10
108 44
0
3 535
2
0
sin
.
.224
108 44
3 535
1 41
1 41
2 24
10
0
20
sin
.
.
sin
.
A
.
v t
e
t
.
 
=
⇒ =
∴
=
+
−
V
( )
(
o
tt
.
t
+
≥
+
108 44
0
0
) V for 
Step 3b 
- 
Zero-state response in Fig. 10.9-8 (b)
The circuits for evaluation of initial condition and sinusoidal steady-state response for this circuit 
is shown in Fig. 10.9-10. Circuit in Fig. 10.9-10 (a) shows the circuit for initial condition evaluation. 
The current source is replaced by a DC current source of value same as the value of i
S
(t) at t 
= 
0
+ 
i.e., 

---

General Analysis Procedure for Single Time Constant 
RL
Circuits 
10.55
2 cos (
-
p
/3) 
= 
1 A. The inductor is replaced by a DC current source of value zero. Therefore, v
o
at t 
= 
0
+ 
is 5 V.
The angular frequency of i
S
(t) is 10-rad/s. Therefore, inductor will have an inductive reactance of 
10 
×
0.25 
= 
2.5 
W
. The amplitude of i
S
(t) is 2A. Hence, 2/
√
2 at 
-
60
o
is the current source value in 
the circuit used for sinusoidal steady-state response evaluation. The sinusoidal steady-state response 
is evaluated as below.