Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

12.12 
SummAry
• Series and Parallel RLC circuits are described by second-order linear differential equation with 
constant coefficients. The natural response of such circuits contains two exponential functions. 
Three different types of natural response terms are possible in such circuits depending on the size 
of elements.

---

Summary

12.53
• A pure LC circuit with initial energy oscillates sinusoidally forever with a frequency of 
w
n
LC
=
1
rad/s. v
C
(t) will have an amplitude of 2E C
o
, where E
o
is the total initial energy storage in 
the circuit, i.e., E
LI
CV
o
o
o
=
(
)
+
(
)
2
2
2
2 , where V
o
and I
o 
are the initial capacitor voltage and 
inductor current respectively. i(t) will have an amplitude of 2E L
o
and the ratio between voltage 
amplitude and current amplitude is L C .
• The parameter called damping factor, 
x
, decides the nature of natural response in RLC circuits. 
x
=
R
L C
2
for series RLC circuit and 
x
=
1
2
L C
R
for parallel RLC circuit. If 
x
> 1, the circuit is 
an over-damped one and its natural response will contain two decaying real exponential functions. 
If 
x
=
1, the circuit is a critically damped one and its natural response will contain an exponential 
function and a product of time with same exponential function. If 
x
<1, the circuit will be an 
under-damped one and its natural response will contain exponentially damped sine function and
cosine function.
• The natural frequency s 
=
s
 
+
j
w
stands for a complex exponential signal e
st
in time-domain. This 
signal will represent one of the many components present in the zero-input response of the circuit 
that has s as one of its natural frequencies. Thus, natural frequency is a stand-in for e
st
.
• Natural frequencies for an RLC circuit are : (
)
− ±
−
x
x
w
2
1
n
if the circuit is over-damped, 
-
xw
n
with multiplicity of 2 if the circuit is critically damped and (
)
− ±
−
x
x w
j
n
1
2
if the circuit is 
under-damped.
• Quality factor Q of a RLC circuit is another parameter that quantifies damping in the circuit. It is 
related to 
x
through the relationship Q
=
1 2
x
. In lightly damped RLC circuits, the fractional loss 
of energy in one oscillation in zero-input response is given by 2
p
/Q or 4
px
.
• The capacitor voltage in a series RLC circuit is a low-pass output. This leads to application of 
series RLC circuit as a good averaging filter.
• The resistor voltage in a series RLC circuit is a band-pass output with centre frequency at 
w
n
and 
a bandwidth of 
w
n
/Q or 2
xw
n
. The two half-power frequencies are asymmetrically located around 
centre frequency in general. However, in a narrow band-pass case (i.e., Q > 5 or 
x
< 0.1), they are 
more or less symmetric about 
w
n
.
• In a circuit excited by a single sinusoidal voltage source (current source) across a pair of terminals, 
resonance is the sinusoidal steady-state condition under which the current drawn at the terminals 
(voltage appearing across the terminals) is in phase with the source voltage (current). Equivalently, 
resonance is the condition under which the input impedance (admittance) offered to the sinusoidal 
source is resistive.
• Series RLC circuit is resonant at 
w
n
. At that frequency, the impedance of the circuit is minimum 
at R and is resistive. Circuit draws current at unity power factor. Voltage across capacitor and 
inductor will be of equal amplitude, but opposite in phase. The voltage amplification factor at 
resonance will be Q or 1/2
x
.
• Parallel RLC circuit is resonant at 
w
n
. At that frequency, the impedance of the circuit is a maximum 
at R and is resistive. Circuit develops voltage at unity power factor. Current through capacitor and 
inductor will be of equal amplitude, but opposite in phase. The current amplification factor at 
resonance will be Q or 1/2
x
.
• The voltage across a parallel RLC circuit is a band-pass output with centre frequency at 
w
n
and a 
bandwidth of 
w
n
/Q or 2
xw
n
. The two half power frequencies are asymmetrically located around 

---

12.54


SeriesandParallel
RLC
Circuits
the centre frequency in general. However, in a narrow band-pass case (i.e., Q > 5 or 
x
< 0.1), they 
are more or less symmetric about 
w
n
.
• Quality factor Q of a RLC circuit is 2
p
times the ratio between total energy storage in the 
beginning of an oscillation cycle to the energy lost during that cycle under source-free condition. 
Equivalently, it is 2
p
times the ratio of total energy stored in the circuit to the energy dissipated in 
one cycle when the circuit is in sinusoidal steady state at resonant frequency. 
• However, quality factor of an element like L or C is 2
p
times the ratio between maximum energy 
stored in reactive part of that element to the energy lost in one cycle in that element under steady-
state operation at a particular 
w
. It will be a frequency-dependent number.