Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

example: 6.6-2
Find the rms value of a voltage waveform given by v(t) 
=
10 sin(100
p
 t – 30
°
) 
+
5 cos(100
p
 t 
+
p
/6) 
+
5 
cos(150
p
 t – 65
°
) 
+
7 sin (300
p
 t
- 
p
/3) – 7 cos(300
p
 t – 45
°
) V.
Solution
The terms in the expression for v(t) contain non-distinct frequencies. Terms with same frequency will 
have to be combined into a single term first.
10 sin (100
p
 t – 30
°
) 
+
5 cos (100
p
 t 
+
p
/6) 
=
sin 100
p
 t [10cos30
°
–5 sin
p
/6]
+
cos 100
p
 t [
-
10sin30
°
+ 
5cos
p
/6] 
=
6.16 sin 100
p
 t – 0.67 cos 100
p
 t 
=
(6.16
2
+
0.67
2
)
°
.5
sin[100
p
 t –tan
-
1
(0.67/6.16)]
=
6.196 sin (100
p
 t –6.2
°
) 
7 sin (300
p
 t – 
p
/3)
- 
7 cos (300
p
 t 
-
45
°
)
=
sin 300
p
 t [7cos
p
/3 –7sin45
°
] 
+
cos 300
p
 t [
-
7sin
p
/3 –7cos45
°
]
=
-
1.45 sin 300
p
 t –11.01 cos 300
p
 t 
= - 
(1.45
2
+
11.01
2
)
°
.5
sin [300
p
 t 
+
tan
-
1
(11.01/1.45)]
=
-
11.105 sin(300
p
 t 
+
82.5
°
)
=
11.105 sin (300
p
 t –97.5
°
)
\
v(t) 
=
6.196 sin (100
p
 t –6.2
°
) 
+
5 cos (150
p
 t – 65
°
) 
+
11.105 sin (300
p
 t –97.5
°
) V.
V
rms
V
= 



+ 



+ 



=
6 196
2
5
2
11 105
2
9 66
2
2
2
.
.
.
example: 6.6-3
The current through a 10
W
resistor is seen to be i(t) 
=
2 
+
3 sin 500
p
 t 
+
1.5 cos 501
p
 t A. (i) Find the 
amplitude of a symmetric triangle wave current with 50 Hz frequency that will produce same heating 
in the resistor. (ii) Will the answer arrived at in (i) be correct if the current lasted only for 0.5 s?

---

6.34
Power and Energy in Periodic Waveforms 
Solution
(i) The rms value of a triangular current with a peak value of I
p
A will be 
I
p
3
(see Example 6.5-3)
This must be equal to the rms value of i(t).
I
rms
A
=
+ 



+ 



=
2
3
2
1 5
2
3 1
2
2
2
.
.
∴ =
×
=
I
p
A
3 1
3 5 37
.
.
(ii) No. The period over which averaging is done in the calculation of rms value is 500 times the 
period of sin 500
p
 t. That is, T 
=
500 
× 
4ms 
=
2 s.
Approximating average power by cyclic average power is valid only if the waveform lasts 
for duration much longer than the period over which averaging is carried out in cyclic average 
calculation. This is the reason why the frequency information does not figure in the expressions 
for P and rms values. The effective value of a waveform does not depend on frequency provided 
the waveform remains applied to the circuit for much longer than its period. 
6.7 
Summary
• Sinusoidal waveforms are of great importance to electrical and electronic circuits due to the 
following reasons: (i) They preserve their waveshape in linear circuits. (ii) They render the voltage 
levels in electrical and electronic systems flexible so that optimisation of sub-system performance 
in various parts of the system by choosing a suitable voltage level in that part of the system 
becomes possible. Transformers help us to realise this voltage flexibility. (iii) Periodic non-
sinusoidal waveforms as well as a broad class of aperiodic waveforms can be expressed as a sum 
of sinusoids by Fourier series and Fourier transforms. Hence, circuit solution with such input 
waveforms can be obtained with relative ease if solution for a sinusoidal input is known.
• A sinusoidal waveform of period T can be expressed as v(t) 
=
A sin (
w
 
t 
+
q
) 
=
A sin (2
p
 t/T 
+
q
) 
=
A 
sin (2
p
ft 
+
q
), where A is its amplitude, T is its period in s, f 
=
1/T is its cyclic frequency in s
-
1
(Hertz, Hz) and 
w
 
=
2
p
f 
=
2
p
/T is its radian frequency or angular frequency in rad/s. The quantity 
q
in v(t) 
=
A sin (
w
 
t 
+
q
) is defined as the phase of the sinusoidal function. 
• The angular difference between similarly located points within a cycle period on two normalised 
sinusoidal waveforms with same 
w
is defined as the phase difference between them. The phase 
difference between two sinusoids is independent of choice of origin in t or 
w
t axis. The precedence 
relationship [i.e., which comes after (in a visual sense) which] between them in t or 
w
t axis too 
is independent of choice of origin. However, the phase of a sinusoidal waveform depends on the 
choice of origin in t or 
w
t axis. 
• When a waveform point on a sinusoidal function v
2
(t) appears after a similarly located point on 
the waveform of another sinusoidal function v
1
(t) with same frequency, v
2
(t) is said to lag v
1
(t) in 
phase and 
q
1
- 
q
2
is called a lag phase angle under this condition.
• Similarly, when a waveform point on a sinusoidal function v
2
(t) appears before a similarly located 
point on the waveform of another sinusoidal function v
1
(t) with same frequency, v
2
(t) is said to 
lead v
1
(t) in phase and 
q
2
- 
q
1
is called a lead phase angle under this condition.

---

Problems 
6.35
• Phase lag is not necessarily a phase delay and phase lead is not necessarily a phase advance. Phase 
lag does not necessarily imply time delay and phase lead does not necessarily imply time advance.
• Instantaneous power delivered to a two-terminal element, p(t) 
=
v(t) i(t), where v(t) and i(t) are the 
element variables defined as per passive sign convention. The sum of p(t) delivered to all elements 
in an isolated circuit will be zero. 
• p(t) delivered to an element is a non-constant function of time in general. If v(t) and i(t) are 
periodic waveforms with period T and zero average value over a cycle period, p(t) will be a periodic 
waveform with period 0.5T and may have a non-zero average value over its cycle period of 0.5T.
• The energy delivered to the element will also be a function of time. The value of total energy 
delivered to the element at end-of-cycle points will fall on a straight line with a slope equal to the 
average value of p(t) waveform over its cycle period.
• The Cycle Average Power in the context of periodic waveforms is defined as the average of p(t) 
over one cycle period and is denoted by P. Average power, P
av
over a time interval (t
2
–t
1
) is defined 
as 
P
t
t
v t i t dt
t
t
av
=
−
∫
1
2
1
1
2
(
)
( ) ( )
. Average Power, P
av
=
Cycle Average Power, P, if the waveforms 
remain applied to the circuit for sufficient duration compared to their period.
• Effective value or rms value of a waveform is the value of DC quantity that will produce the same 
heating effect as that produced by the waveform when it is applied as a voltage across a resistance 
of 1
W
or as a current through a resistance of 1
W
. If x(t) is a periodic waveform with period T, its 
rms value is given by 
X
T
x t
dt
T
rms
=
∫
1
2
0
[ ( )]
• Let v(t) 
=
V
m
sin
w
t V and i(t) 
=
I
m
sin(
w
t 
+
q
) A be the voltage across and current through an 
electrical element as per passive sign convention. Then rms value of v(t) is V
m
/
√
2, rms value of 
current is I
m
/
√
2 and the average power delivered to the element is V
rms
I
rms
cos
q
W.
• The average power delivered to an element in a linear circuit excited by sinusoidal sources of 
different frequencies (including DC, i.e., zero frequency) obeys superposition principle.
• Let v(t) 
=
v
1
(t) 
+
v
2
(t) 
+ 
… 
+
v
n
(t) be a composite waveform comprising n distinct frequency 
sinusoidal waveforms. Then, V
V
V
V
rms
1rms
2rms
n rms
=
+
+ +
2
2
2
.