Chiziqli tezkorlik masalasi

Chiziqli tezkorlik masalasi

Holati

chiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan yozilgan ob’ektni qaraymiz, bu yerda o’lchamli vektor sistemaning holati, o’lchamli vektor boshqaruvni ifodalaydi, esa o’lchamli kvadrat matritsa. Bo’sh bo’lmagan kompakt to’plam , ya’ni to’plam brrilgan bo’lsin. Agar qandaydir vaqt oralig’ida aniqlangan o’lchovli funksiya bo’lib, barcha lar uchun mansublikni qanoatlantirsa , funksiyaga joiz boshqaruv deyiladi. Kelgusida ixtiyoriy bunday boshqaruv va ixtiyoriy boshlang’ich holat uchun

differensial tenglama yagona yechimga ega bo’lishi ko’rsatiladi.

Bu yechim joiz boshqaruv ta’sirida ob’ekt dinamikasining o’zgarishini ifodalaydi.

holatlar fazosida bo’sh bo’lmagan va kompakt to’plamlar, ya’ni to’plamlar berilgan bo’lsin.

Agar vaqt oralig’ida aniqlangan joiz boshqaruvga mos tenglamaning yechimi chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, u holda bu joiz boshqaruv to’plamni so’nggi to’plamga olib o’tadi deyiladi.

Kelgusida vaqtning boshlang’ich momenti maxkamlangan deb hisoblanadi, vaqtning so’nggi momenti esa yechimning to’plamga tushish shartidan aniqlanadi. Endi tezkorlik masalasi to’plamni to’plamga eng qisqa vaqt orlig’ida olib o’tuvchi joiz boshqaruvni topishdan iborat. Bu masala uchun 1- ma’ruzada qo’yilgan optimal boshqaruv nazariyasining asosiy matematik masalalari: boshqariluvchanlik,optimal boshqaruvning mavjudligi, optimallikning zaruriy sharti , optimallikning yetarli sharti va optimal boshqaruvning yagonaligini tadqiq qilamiz. Albatta bu masalalarni hal etishda har vaqt ob’ekt dinamikasiga qo’shimcha talablar qo’yiladi, ammo chiziqli tezkorlik masalasini qo’yilishida qilingan kelishuvlar doimo bajariladi. Bu shartlar chiziqli tezkorlik masalasining asosiy mohiyatini tashkil qiladi.

Chiziqli tezkorlik masalasi

optimal boshqaruv maslasini shartlar bilan yechishning hususiy holidan iborat bo’lib, – chiziqli funksiyadir:

Bu yerda fazoviy koordinatalar vektori; , sistemaning matritsasi (uni vaqtga bog’liq emas deb hisoblaymiz), boshqaruv vektori; .

Joiz boshqaruvlar sinfini quyidagicha aniqlangan



kompakt to’plam boshqaruv sohasi deyiladi.

obektning boshlang’ich holatlari to’plami,

obektning ohirgi holatlari to’plami,

– boshqaruvning sifat kriteriyasi.

boshlang’ich ma’lumotlar bilan berilgan (1)-(3) chiziqli tezkorlik masalasi obektni minimal vaqtda (1) tenglamaning traektoriyalari boyicha dan ga olib o’tuvchi joiz boshqaruvni topishdan iborat. Masalaning yechimi bo’lgan boshqaruv tezkorlik bo’yicha optimal, bu boshqaruvga mos traektoriya esa tezkorlik bo’yicha optimal traektoriya deyiladi.

(12)-(14) tezkorlik masalasining yechish deganda, (15) boshlang’ich ma’lumotlar asosida optimal juftlikni topish tushuniladi.

(12) vektorli differensial tenglama quyidagi sistemaga ekvivalent: