Chiziqli funksiya

Doiraviylik xossasi
Teorema-1. Ixtiyoriy kasr-chiziqli akslantirish dagi ixtiyoriy aylana yoki to’g’ri chiziqni dagi aylana yoki to’g’ri chiziqqa akslantiradi.
Isbot: c=0 bo’lganda chiziqli akslantirish uchun teorema isbot. Agar c0 bo’lsa u holda
(4)
kasr-chiziqli funksiyaning unga ekvivalent bo’lgan bir nechta funksiya bilan almashtiramiz
(*)
chunki

bunda

(*) da birinchi, uchinchi hollarda aylana yoki to’g’ri chiziq, aylana yoki to’g’ri chiziqqa o’tadi.

uchun isbotlaymiz
Soddalik uchun

deb belgilaymiz.
Ma’lumki, R² tekislikda
E(x²+y²) + 2Bx+2Cy+D=0
tenglama aylanani, agar E=0 bo’lsa, to’g’ri chiziqni ifodalaydi.
Agar

bo’lishini e’tiborga olsak, u holda (6) tenglik

ko’rinishga keladi, bunda F=B+iC
(7) aylananing obrazini hosil qilish uchun (5)da deb (7) ga qo’ysak,

Bu (8) tenglama ham da aylana yoki to’g’ri chiziqni ifodalaydi.
Ta’rif: Agar z va z^* nuqta lar G={zC_z:|z-z₀|=r}
aylana markazidan chiqqan bitta nurda yotib, bu nuqtalardan aylana markazigacha bo’lgan masofalar ko’paytmasi aylana radiusi kvadratiga teng bo’lsa, z va z^* nuqtalar G aylanaga nisbatan simmetrik nuqtalar deyiladi.

Ravshanki, bu holda

arg(z^*-z₀) = arg(z-z₀)
|z^*-z₀| |z-z₀|=r²
bo’lib,

bo’ladi.
Teorema-2: Ixtiyoriy kasr-chiziqli akslantirish dagi ixtiyoriy G aylanaga nisbatan simmetrik z va z^* nuqtalarni shu aylananing obraziga nisbatan simmetrik bo’lgan w va w^* nuqtalarga akslantiradi.
Isboti: (mustaqil).
akslantirishda a0 bo’lsin. U holda

deb yozish mumkin.
Soddalik uchun

deb yozib olamiz.
Quyidagi masalani qaraymiz. tekislikdagi z₁,z₂,z₃ nuqtalarni tekislikdagi  w₁,w₂,w₃ nuqtalarga mos qo’yuvchi kasr-chiziqli akslantirish topilsin.

tengliklardan b, c, d larni topib (9) ga qo’ysak, izlanayotgan funksiya aniqlanadi. Lekin bu yo’l uzoq bo’lgani uchun boshqacha ish ko’ramiz.

munosabatlarga ega bo’lamiz. Bu munosabatlardan foydalanib,

munosabatni hosil kilamiz. Bu munosabatga angarmonik munosabat deyiladi.
(10)
(10) 3 ta nuqtani 3 ta nuqtaga akslantiradigan formula. Demak, quyidagi teorema isbot bo’ldi.
Teorema: tekislikdagi z₁,z₂,z₃ nuqtalarni tekislikdagi
W₁, W₂, W₃ nuqtalarga akslantiruvchi kasr-chiziqli akslantirish mavjud va yagonadir.