Chiziqli bir jinsli bo’lmagan 2-tartibli differensial tenglamalar (X) + (X) + (X)y=b(X) (1) (X) +

y = , = (7)

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan yagona xususiy yechim ajratish mumkinligini ko’rsatish yetarli.

(x) va (x) lar (2) bir jinsli differensial tenglamaning xususiy yechmlari bo’lib,ular fundamental sistema tashkil qilsin. U holda

= (x)+ (x) va y(x)= (x)+ (x) (12)

Faraz qilaylik, y= funksiya (2) differensial tenlamaning (7) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi biror yechimi bo’lsin.Uni (12) yechimdan ni mos holda tanlab olish bilan hosil qilish mumkinligini ko’rsatamiz.

Haqiqatan ham, y(x)= (x)+ (x) va

(x)+ (x)+ (x) bo’lganligi uchun,ularni (7) boshlang’ich shartlarga qo’yib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bundan

Sistemani hosil qilamiz.Bu sistemaning asosiy determinanti

Bo’lgani uchun,u yagona va yechimga ega.

Hosil qilingan xususiy yechim yagonalik teoremasiga muvofiq y= yechim bilan bir xil bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.